Докажите, что в треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы докажем два важных утверждения о соотношениях между сторонами и углами в треугольнике. **1. Против большей стороны лежит больший угол:** *Предположим*, что в треугольнике \(ABC\) сторона \(AC\) больше стороны \(AB\) (то есть, \(AC > AB\)). Нам нужно доказать, что угол \(\angle ABC\) больше угла \(\angle ACB\) (то есть, \(\angle ABC > \angle ACB\)). *Доказательство:* 1. Отложим на стороне \(AC\) отрезок \(AD\), равный стороне \(AB\) (то есть, \(AD = AB\)). 2. Так как \(AD = AB\), треугольник \(ABD\) равнобедренный с основанием \(BD\). Следовательно, углы при основании равнобедренного треугольника равны: \(\angle ABD = \angle ADB\). 3. Угол \(\angle ADB\) является внешним углом для треугольника \(BDC\). Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Значит, \(\angle ADB > \angle DCB\) (то есть, \(\angle ADB > \angle ACB\)). 4. Теперь мы знаем, что \(\angle ABD = \angle ADB\) и \(\angle ADB > \angle ACB\). Отсюда следует, что \(\angle ABD > \angle ACB\). 5. Угол \(\angle ABC\) состоит из углов \(\angle ABD\) и \(\angle DBC\). Поэтому, \(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC\). 6. Так как \(\angle ABD > \angle ACB\), то и \(\angle ABC > \angle ACB\), потому что мы добавляем к \(\angle ABD\) еще угол \(\angle DBC\). Что и требовалось доказать. **2. Против большего угла лежит большая сторона:** *Предположим*, что в треугольнике \(ABC\) угол \(\angle B\) больше угла \(\angle C\) (то есть, \(\angle ABC > \angle ACB\)). Нам нужно доказать, что сторона \(AC\) больше стороны \(AB\) (то есть, \(AC > AB\)). *Доказательство (от противного):* 1. Допустим, что это не так. Тогда возможны два варианта: либо \(AC = AB\), либо \(AC < AB\). 2. Если \(AC = AB\), то треугольник \(ABC\) равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle ABC = \angle ACB\). Но это противоречит условию, что \(\angle ABC > \angle ACB\). 3. Если \(AC < AB\), то, по доказанному ранее (в первом пункте), против меньшей стороны \(AC\) должен лежать меньший угол. Значит, \(\angle ABC < \angle ACB\). Но это тоже противоречит условию, что \(\angle ABC > \angle ACB\). 4. Оба предположения (\(AC = AB\) и \(AC < AB\)) привели к противоречию. Следовательно, остается только один возможный вариант: \(AC > AB\). Что и требовалось доказать. **Итог:** Мы доказали оба утверждения. Важно помнить, что в треугольнике всегда существует прямая связь между размерами сторон и величинами противолежащих углов. Большая сторона лежит напротив большего угла, и наоборот.