Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC.

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\).

1. По условию \(\angle BAC = \angle ACD\).
2. По условию \(\angle BCA = \angle DAC\).
3. Сторона \(AC\) является общей для обоих треугольников.

Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства соответствующих углов получаем:

\(\angle BAC = \angle ACD\), значит, прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны, так как это накрест лежащие углы при секущей \(AC\).

Аналогично, \(\angle BCA = \angle DAC\), значит, прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны.

Таким образом, в четырёхугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно параллельны: \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\).

Ответ: ABCD — параллелограмм.