Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) Рассмотрим треугольники \(\triangle BAC\) и \(\triangle ACD\).

1. По условию \(\angle BAC=\angle ACD\).
2. По условию \(\angle BCA=\angle DAC\).
3. Сторона \(AC\) является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому \(\angle BAC=\angle ACD\) — накрест лежащие углы при прямых \(AB\) и \(CD\), значит, \(AB\parallel CD\).

Аналогично, из равенства \(\angle BCA=\angle DAC\) следует, что \(BC\parallel AD\).

В четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

б) Так как \(AB\parallel CD\), то внутренние односторонние углы при секущей \(AD\) supplementary:

\(\angle A+\angle D=180^\circ\).

По условию \(\angle A=\angle C\), поэтому

\(\angle C+\angle D=180^\circ\).

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\), следовательно,

\(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ\).

Так как \(\angle A+\angle C=2\angle A\), а \(\angle C+\angle D=180^\circ\), получаем \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Эти углы являются внутренними односторонними при секущей \(AB\), поэтому \(AD\parallel BC\).

Итак, \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\). Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.