1020. Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения: a) 4 + 2z + z²; 6) x² - 4x + 5; в) 2x² - 6x + 5.

Решение:

a) 4 + 2z + z²

• Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
• z² + 2z + 4 = z² + 2z + 1 + 3 = (z + 1)² + 3
• Так как (z + 1)² ≥ 0 для любого z, то (z + 1)² + 3 > 0.
• Следовательно, выражение принимает только положительные значения.

б) x² - 4x + 5

• Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
• x² - 4x + 5 = x² - 4x + 4 + 1 = (x - 2)² + 1
• Так как (x - 2)² ≥ 0 для любого x, то (x - 2)² + 1 > 0.
• Следовательно, выражение принимает только положительные значения.

в) 2x² - 6x + 5

• Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
• 2x² - 6x + 5 = 2(x² - 3x) + 5 = 2(x² - 3x + 9/4) - 2(9/4) + 5 = 2(x - 3/2)² - 9/2 + 5 = 2(x - 3/2)² + 1/2
• Так как 2(x - 3/2)² ≥ 0 для любого x, то 2(x - 3/2)² + 1/2 > 0.
• Следовательно, выражение принимает только положительные значения.