Докажите, что выражение \( \sqrt{\frac{3}{4}}-x+\sqrt{2x}-\frac{3}{2}\sqrt{1-4x} \) обращается в ноль при \( x = \frac{1}{12} \).

Решение:

Подставим \( x = \frac{1}{12} \) в выражение:

\[ \sqrt{\frac{3}{4}}-\frac{1}{12}+\sqrt{2\cdot\frac{1}{12}}-\frac{3}{2}\sqrt{1-4\cdot\frac{1}{12}} \]

1. Вычислим \( \sqrt{\frac{3}{4}} \): \( \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
2. Вычислим \( \sqrt{2\cdot\frac{1}{12}} \): \( \sqrt{\frac{2}{12}} = \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \).
3. Вычислим \( \sqrt{1-4\cdot\frac{1}{12}} \): \( \sqrt{1-\frac{4}{12}} = \sqrt{1-\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \).
4. Подставим полученные значения обратно в выражение:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3} \]

Упростим последнее слагаемое:

\[ \frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{6}}{2} \]

Заметим, что \( \frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{6}-3\sqrt{6}}{6} = \frac{-2\sqrt{6}}{6} = -\frac{\sqrt{6}}{3} \).

Ошибка в вычислениях. Перепроверим условие.

В условии задания, видимо, опечатка. Выражение, которое обращается в ноль при x=1/12, должно быть иным.

Предположим, что в выражении изначально были числа, которые при подстановке x=1/12 дадут ноль.

Так как задача просит ДОКАЗАТЬ, а не найти x, то мы должны показать, что при подстановке получается 0.

Давайте пересчитаем, внимательнее.

\[ \sqrt{\frac{3}{4}}-x+\sqrt{2x}-\frac{3}{2}\sqrt{1-4x} \]

При \( x = \frac{1}{12} \):

\[ \sqrt{\frac{3}{4}}-\frac{1}{12}+\sqrt{2\cdot\frac{1}{12}}-\frac{3}{2}\sqrt{1-4\cdot\frac{1}{12}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\sqrt{\frac{1}{6}}-\frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{1}{3}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{3}{2}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{3\sqrt{6}}{2\cdot 3} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{6}}{2} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}-3\sqrt{6}}{6} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{-2\sqrt{6}}{6} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}-\frac{\sqrt{6}}{3} \]

Снова не ноль. Вероятно, в задании ошибка.

Если предположить, что первое слагаемое было \( \sqrt{\frac{1}{4}} \) вместо \( \sqrt{\frac{3}{4}} \), то:

\[ \frac{1}{2}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{6}{12}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}-3\sqrt{6}}{6} = \frac{5}{12}+\frac{-2\sqrt{6}}{6} = \frac{5}{12}-\frac{\sqrt{6}}{3} \]. Все еще не ноль.

Если предположить, что третье слагаемое было \( -\frac{1}{2}\sqrt{1-4x} \) вместо \( -\frac{3}{2}\sqrt{1-4x} \), то:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{12} \]. Все еще не ноль.

Учитывая, что это задача на доказательство, и при подстановке не получается ноль, можно сделать вывод, что в исходном выражении есть ошибка.

Однако, если бы выражение было, например, \( \frac{1}{2} - \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{3}{2} \sqrt{\frac{2}{3}} \) и \( x = \frac{1}{12} \), то:

\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{12} + \sqrt{\frac{1}{6}} - \frac{3}{2} \sqrt{1-\frac{4}{12}} = \frac{6}{12} - \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{3}{2} \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{3}{2} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{5}{12} - \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{5}{12} - \frac{\sqrt{6}}{3} \].

Поскольку задача требует доказательства, и при подстановке не получается ноль, необходимо признать, что условие задачи некорректно.

Если предположить, что первое слагаемое было 1/2 (а не корень из 3/4), и последнее слагаемое было 1/2 (а не 3/2), то:

\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{12} + \sqrt{\frac{1}{6}} - \frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} - \frac{1}{12} = \frac{5}{12} \]. Все еще не ноль.

ВЫВОД: Приведенное в условии выражение не обращается в ноль при x = 1/12. Задача содержит ошибку.