Вопрос:

Докажите, что: (x+1)(y+2)(z+8)>=32*корень из (xyz), если x>=0, y>=0, z>=0.

Ответ:

\[(x + 1)(y + 2)(z + 8) \geq 32\sqrt{\text{xyz}};\ \ \ \]

\[x \geq 0,\ y \geq 0,\ z \geq 0\]

\[\frac{x + 1}{2} \cdot \frac{y + 2}{2} \cdot \frac{z + 8}{2} \geq 4\sqrt{\text{xyz}}\]

\[\sqrt{x} \cdot \sqrt{2y} \cdot \sqrt{8z} - 4\sqrt{\text{xyz}} \geq 0\]

\[\sqrt{16xyz} - 4\sqrt{\text{xyz}} \geq 0\]

\[\sqrt{16xyz} - \sqrt{16xyz} \geq 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow верно.\]

Докажите, что: (a+2b)(1/2a+1/b)>=4, если a>0 и b>0.
Докажите, что: (a+6)(b+3)(c+2)>=48*корень из (abc), если a>=0, b>=0, c>=0.
Докажите, что: (a+b)(1/a+1/b)>=4, если a>0, b>0.
Докажите, что: (a-1)^3-4(a-1)=(a-1)(a+1)(a-3).
Докажите, что: (a-b)(a+b)((a-b)^2+(a+b)^2)=2(a^4-b^4).
Докажите, что: (x+1/y)(y+1/x)>=4, если x>0, y>0.
Докажите, что: (x-3y)(x+3y)+(3y-c)(3y+c)+(c-x)(c+x)=0.
Докажите, что: (x^2+1)^2-4x^2=(x-1)^2(x+1)^2.
Докажите, что: 4b^2c^2-(b^2+c^2+a^2)^2=(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a).
Докажите, что: ab(a+b)<=a^3+b^3, если a>=0, b>=0.