4. Докажите, что ZAFN=ZMNF (рис. 61), если известно, что AN = FM и АN || FM. 5. В треугольнике АВС известно, что ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, отрезок CD — биссектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD = 5 см.

Ответ: Доказательство приведено ниже, AB = 5\(\sqrt{3}\) см

Решение:

4. Докажите, что \(\angle AFN = \angle MNF\) (рис. 61), если известно, что AN = FM и AN || FM.

Доказательство:

Т.к. AN || FM, то \(\angle AFN = \angle M\) (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AN и FM и секущей NF).

Т.к. AN || FM, то \(\angle FNM = \angle A\) (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AN и FM и секущей AM).

Рассмотрим четырехугольник ANFM. AN = FM и AN || FM, следовательно, ANFM - параллелограмм (по признаку). Противоположные углы параллелограмма равны, значит, \(\angle A = \angle F\) и \(\angle N = \angle M\).

Тогда \(\angle AFN = \angle M = \angle N = \angle FNM\), следовательно \(\angle AFN = \angle MNF\). Что и требовалось доказать.

5. В треугольнике ABC известно, что \(\angle B = 90^\circ\), \(\angle ACB = 60^\circ\), отрезок CD — биссектриса треугольника. Найдите катет AB, если BD = 5 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \(\angle B = 90^\circ\), \(\angle ACB = 60^\circ\), следовательно, \(\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

CD - биссектриса угла \(\angle ACB\), следовательно, \(\angle ACD = \angle DCB = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\).

Рассмотрим треугольник BCD. \(\angle DCB = 30^\circ\). Тогда \(BC = \frac{BD}{\tan(\angle DCB)} = \frac{5}{\tan(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 5 \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 5 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}\)

Рассмотрим треугольник ABC. \(\angle ACB = 60^\circ\). Тогда \(AB = BC \cdot \tan(\angle ACB) = 5\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15\).

Ответ: Доказательство приведено выше, AB = 5\(\sqrt{3}\) см