115. Докажите, что значение выражения: 1) 27³ + 3⁷ кратно 10; 2) 15³ - 5³ кратно 13; 3) 16⁴ - 2¹⁰ кратно 14; 4) 10⁴ + 5³ кратно 9.

1) (27^3 + 3^7 = (3^3)^3 + 3^7 = 3^9 + 3^7 = 3^7(3^2 + 1) = 3^7(9 + 1) = 3^7 * 10). Так как множитель 10 присутствует, выражение кратно 10. 2) (15^3 - 5^3 = (3 * 5)^3 - 5^3 = 3^3 * 5^3 - 5^3 = 5^3(3^3 - 1) = 5^3(27 - 1) = 5^3 * 26 = 5^3 * 2 * 13). Так как множитель 13 присутствует, выражение кратно 13. 3) (16^4 - 2^{10} = (2^4)^4 - 2^{10} = 2^{16} - 2^{10} = 2^{10}(2^6 - 1) = 2^{10}(64 - 1) = 2^{10} * 63 = 2^{10} * 9 * 7 = 2^{9} * 9 * 14). Так как множитель 14 присутствует, выражение кратно 14. 4) (10^4 + 5^3 = (2*5)^4 + 5^3 = 2^4 * 5^4 + 5^3 = 5^3(2^4 * 5 + 1) = 5^3(16*5 + 1) = 5^3(80+1)= 5^3 * 81= 5^3 * 9 * 9). Выражение кратно 9.