Докажите, что значение выражения корень из (10m-3), где m€N не может быть натуральным числом.

\[Первый\ способ.\]

\[\sqrt{10m - 3};\ \ \ где\ m \in N.\]

\[Предположим,\ что\ \]

\[\sqrt{10m - 3} = n,\ \ \ где\ \ \ n \in N.\]

\[10m - 3 = n^{2}\]

\[10m = n^{2} + 3\]

\[\Longrightarrow m = \frac{n^{2} + 3}{10} = \frac{n^{2}}{10} + \frac{3}{10}\ \ \notin N,\]

\[\mathbf{что\ противоречит\ условию.}\]

\[\mathbf{Второй\ способ.}\]

\[10m - 3\ всегда\ оканчивается\ \]

\[цифрой\ 7,\ если\ m -\]

\[натуральное\ число.\]

\[Не\ существует\ натурального\ \]

\[числа,\ квадрат\ которого\ \]

\[заканчивается\ цифрой\ 7.\ \]

\(Что\ и\ требовалось\ доказать.\)