Докажите, что значение выражения: a) 5⁹ – 25⁴ – 125² кратно 99 б) 343³ + 49⁴ – 7⁷ кратно 55

Решим данное задание по математике.

а) Докажем, что 5⁹ – 25⁴ – 125² кратно 99.

Представим 25 и 125 в виде степеней с основанием 5:

• $$25 = 5^2$$
• $$125 = 5^3$$

Тогда выражение будет иметь вид:

$$5^9 - (5^2)^4 - (5^3)^2 = 5^9 - 5^8 - 5^6$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$5^6(5^3 - 5^2 - 1) = 5^6(125 - 25 - 1) = 5^6 \cdot 99$$

Так как один из множителей делится на 99, то и все выражение делится на 99.

б) Докажем, что 343³ + 49⁴ – 7⁷ кратно 55.

Представим 343 и 49 в виде степеней с основанием 7:

• $$343 = 7^3$$
• $$49 = 7^2$$

Тогда выражение будет иметь вид:

$$(7^3)^3 + (7^2)^4 - 7^7 = 7^9 + 7^8 - 7^7$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$7^7(7^2 + 7 - 1) = 7^7(49 + 7 - 1) = 7^7 \cdot 55$$

Так как один из множителей делится на 55, то и все выражение делится на 55.

Ответ: Доказано.