Докажите, что значения выражений не зависит от x: a) (x+7)² - (x-3)(x+3) б) (x+9)² - (x-8)(x+8)

Решение:

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от x, нужно раскрыть скобки и упростить выражение. Если x исчезнет, значит, выражение не зависит от него.

а) (x+7)² - (x-3)(x+3)

1. Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы: (a+b)² = a² + 2ab + b².
   \( (x+7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49 \)
2. Раскроем вторую скобку по формуле разности квадратов: (a-b)(a+b) = a² - b².
   \( (x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9 \)
3. Подставим полученные выражения обратно в исходное:
   \( (x^2 + 14x + 49) - (x^2 - 9) \)
4. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:
   \( x^2 + 14x + 49 - x^2 + 9 \)
5. Приведём подобные слагаемые:
   \( (x^2 - x^2) + 14x + (49 + 9) = 0 + 14x + 58 = 14x + 58 \)

Внимание! Здесь возникла ошибка в оригинальном задании, так как выражение 14x + 58 все еще зависит от x. Если бы условие было (x+7)² - (x+7)(x-7), то получилось бы:

(x+7)² - (x-7)(x+7) = (x² + 14x + 49) - (x² - 49) = x² + 14x + 49 - x² + 49 = 14x + 98. Это тоже зависит от x.

Перепроверим еще раз условие: (x+7)² - (x-3)(x+3). Если раскрыть, получаем 14x + 58. Вероятно, в условии была опечатка, и должно было быть что-то, что сократится до константы.

Допустим, задание должно было быть: (x+7)² - x(x+14)

1. \( (x+7)^2 = x^2 + 14x + 49 \)
2. \( x(x+14) = x^2 + 14x \)
3. \( (x^2 + 14x + 49) - (x^2 + 14x) = x^2 + 14x + 49 - x^2 - 14x = 49 \)

В этом случае выражение не зависит от x.

б) (x+9)² - (x-8)(x+8)

1. Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы:
   \( (x+9)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 + 18x + 81 \)
2. Раскроем вторую скобку по формуле разности квадратов:
   \( (x-8)(x+8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64 \)
3. Подставим полученные выражения обратно в исходное:
   \( (x^2 + 18x + 81) - (x^2 - 64) \)
4. Раскроем скобки:
   \( x^2 + 18x + 81 - x^2 + 64 \)
5. Приведём подобные слагаемые:
   \( (x^2 - x^2) + 18x + (81 + 64) = 0 + 18x + 145 = 18x + 145 \)

Внимание! Здесь также возникла ошибка в оригинальном задании, так как выражение 18x + 145 все еще зависит от x. Если бы условие было (x+9)² - x(x+18), то получилось бы:

(x+9)² - x(x+18) = (x² + 18x + 81) - (x² + 18x) = x² + 18x + 81 - x² - 18x = 81.

Ориентируясь на типичные задания такого типа, предполагаем, что в условии была опечатка и оно должно было привести к результату, не зависящему от x.

Если условие было:

а) (x+7)² - x(x+14)

1. \( (x+7)^2 = x^2 + 14x + 49 \)
2. \( x(x+14) = x^2 + 14x \)
3. \( (x^2 + 14x + 49) - (x^2 + 14x) = 49 \)

б) (x+9)² - x(x+18)

1. \( (x+9)^2 = x^2 + 18x + 81 \)
2. \( x(x+18) = x^2 + 18x \)
3. \( (x^2 + 18x + 81) - (x^2 + 18x) = 81 \)

Ответ: При условии, что в заданиях были опечатки и выражения должны были иметь вид (x+a)² - x(x+2a), то значения выражений не зависят от x и равны 49 и 81 соответственно. В исходном виде выражения зависят от x.