176. Докажите, что значения выражений являются взаимно обратными числами: а) (4/5)^3 и (0,8)^-3; б) 1000^-2 и (0,001)^-2; в) 3,5^4 и (2/7)^-4; г) (6 1/4)^-5 и (0,16)^-5.

Решение:

а) \(\left(\frac{4}{5}\right)^3\) и \((0,8)^{-3}\)

• Преобразуем 0,8 в дробь: \(0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)
• Тогда \((0,8)^{-3} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{4}\right)^{3}\)
• Перемножим: \(\left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^3 = \left(\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}\right)^3 = 1^3 = 1\)

б) \(1000^{-2}\) и \((0,001)^{-2}\)

• \(1000^{-2} = \left(10^3\right)^{-2} = 10^{-6}\)
• \((0,001)^{-2} = \left(\frac{1}{1000}\right)^{-2} = \left(10^{-3}\right)^{-2} = 10^6\)
• Перемножим: \(10^{-6} \cdot 10^6 = 10^{-6+6} = 10^0 = 1\)

в) \(3,5^4\) и \(\left(\frac{2}{7}\right)^{-4}\)

• \(3,5 = \frac{7}{2}\)
• Тогда \(3,5^4 = \left(\frac{7}{2}\right)^4\)
• \(\left(\frac{2}{7}\right)^{-4} = \left(\frac{7}{2}\right)^{4}\)
• Перемножим: \(\left(\frac{7}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{-4} = \left(\frac{7}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{4} = \left(\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{7}\right)^4 = 1^4 = 1\)

г) \(\left(6\frac{1}{4}\right)^{-5}\) и \((0,16)^{-5}\)

• \(6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}\)
• \(0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}\)
• Тогда \(\left(6\frac{1}{4}\right)^{-5} = \left(\frac{25}{4}\right)^{-5} = \left(\frac{4}{25}\right)^5\)
• Перемножим: \(\left(\frac{4}{25}\right)^5 \cdot \left(\frac{25}{4}\right)^5 = \left(\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{4}\right)^5 = 1^5 = 1\)

Ответ: Во всех случаях произведение равно 1, следовательно, данные числа являются взаимно обратными.