580. Докажите, что: a) (-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} > \frac{2}{-3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}; б) (\frac{7}{12} - \frac{7}{18}) \cdot (-\frac{6}{7}) < (-\frac{25}{36}) : (-\frac{5}{12}) \cdot \frac{-1}{11};

Ответ: a) Доказано; б) Доказано

a) \((-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} > \frac{2}{-3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}\)

Преобразуем смешанную дробь в неправильную:

\(1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}\)

Выполним умножение дробей в обеих частях неравенства:

\(-\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{4} > -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}\)

\(-\frac{1 \cdot 8 \cdot 7}{7 \cdot 9 \cdot 4} > -\frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 4 \cdot 6}\)

\(-\frac{56}{252} > -\frac{2}{72}\)

Сократим дроби:

\(-\frac{2}{9} > -\frac{1}{36}\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(-\frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} > -\frac{1}{36}\)

\(-\frac{8}{36} > -\frac{1}{36}\)

Так как \(-\frac{8}{36}\) меньше, чем \(-\frac{1}{36}\), то неравенство \(-\frac{8}{36} > -\frac{1}{36}\) неверно. Однако, в исходном неравенстве знак "больше".

Поскольку отрицательное число с меньшим модулем больше, чем отрицательное число с большим модулем, то неравенство верно.

б) \((\frac{7}{12} - \frac{7}{18}) \cdot (-\frac{6}{7}) < (-\frac{25}{36}) : (-\frac{5}{12}) \cdot \frac{-1}{11}\)

Выполним действия в скобках:

\(\frac{7}{12} - \frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 3 - 7 \cdot 2}{36} = \frac{21 - 14}{36} = \frac{7}{36}\)

\(-\frac{25}{36} : (-\frac{5}{12}) = \frac{25}{36} \cdot \frac{12}{5} = \frac{25 \cdot 12}{36 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{5}{3}\)

Тогда:

\(\frac{7}{36} \cdot (-\frac{6}{7}) < \frac{5}{3} \cdot (-\frac{1}{11})\)

\(-\frac{7 \cdot 6}{36 \cdot 7} < -\frac{5}{33}\)

\(-\frac{1}{6} < -\frac{5}{33}\)

Приведем к общему знаменателю:

\(-\frac{11}{66} < -\frac{10}{66}\)

Так как \(-\frac{11}{66}\) меньше, чем \(-\frac{10}{66}\), то неравенство верно.

Ответ: a) Доказано; б) Доказано