1. Докажите формулу разности кубов: а³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). 2. Разложите на множители: a) 12³ + b³; б) x³- 125; в) 1 + 27n³; г) 1/64 a³-8b3.

Решение:

1. Доказательство формулы разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$.

Раскроем скобки в правой части равенства:

$$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$$

Следовательно, $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$.

2. Разложение на множители:

a) $$12^3 + b^3$$

Используем формулу суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$.

Тогда,$$12^3 + b^3 = (12 + b)(12^2 - 12b + b^2) = (12 + b)(144 - 12b + b^2)$$.

Ответ: $$(12 + b)(144 - 12b + b^2)$$

б) $$x^3 - 125$$

Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$.

Тогда,$$x^3 - 125 = x^3 - 5^3 = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)$$.

Ответ: $$(x - 5)(x^2 + 5x + 25)$$

в) $$1 + 27n^3$$

Используем формулу суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$.

Тогда,$$1 + 27n^3 = 1^3 + (3n)^3 = (1 + 3n)(1 - 3n + 9n^2)$$.

Ответ: $$(1 + 3n)(1 - 3n + 9n^2)$$

г) $$\frac{1}{64}a^3 - 8b^3$$

Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$.

Тогда,$$\frac{1}{64}a^3 - 8b^3 = (\frac{1}{4}a)^3 - (2b)^3 = (\frac{1}{4}a - 2b)(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{2}ab + 4b^2)$$.

Ответ: $$(\frac{1}{4}a - 2b)(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{2}ab + 4b^2)$$.