Докажите формулы для углов α и β, меньших 90°, с помощью рисунка 36. На нём прямоугольник ABCD разбит на четыре прямоугольных треугольника. Углы MAK и KAD обозначены как α и β, а отрезок AM равен 1. Каждое слагаемое, входящее в обе формулы, равно одному из отрезков на чертеже. Проверьте, что угол CKM на этом рисунке равен β.

Поскольку AM = 1 и треугольник AMK прямоугольный, AK = cos α, MK = sin α.

В прямоугольном треугольнике AKD угол KAD равен β, поэтому KD = AK · sin β = cos α · sin β, а AD = AK · cos β = cos α · cos β.

Треугольники ABM и CKD имеют прямые углы; кроме того, AB = CD. Из чертежа CD = CK + KD, поэтому AB = CK + KD.

Угол CKM равен β: MK ⟂ AK и CK ⟂ AD, а угол между AK и AD равен β. В прямоугольном треугольнике MCK отсюда CK = MK · sin β = sin α · sin β. Следовательно, AB = sin α · sin β + cos α · sin β.

Угол BAM равен 90° − (α + β), поэтому AB = cos(α + β). Таким образом, cos(α + β) = sin α · sin β + cos α · sin β.

Для второй формулы используем равенство AD = BC и разложение BC = BM + MC. В треугольнике MCK угол при M равен 90° − β, значит MC = MK · cos β = sin α · cos β. Поэтому BM = AD − MC = cos α · cos β − sin α · cos β.

Угол AMB равен α + β, а гипотенуза AM равна 1, поэтому BM = cos(α + β). Следовательно, cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · cos β.

В предоставленном фрагменте первая часть строки с формулами обрезана. На чертеже и в тексте к нему можно проверить приведённые равенства; они записаны здесь по обозначениям рисунка.