Докажите логическое тождество: A ↔ B = ¬(A ⊕ B) = A · B + ¬A · ¬B; A ⊕ B = A · ¬B + ¬A · B; A → B = ¬A + B.

1. Эквивалентность:

Используем определение исключающего «ИЛИ»:

\[A \oplus B = A\cdot\neg B + \neg A\cdot B.\]

Тогда по закону де Моргана:

\[\begin{aligned}\neg(A\oplus B)&=\neg(A\cdot\neg B+\neg A\cdot B)\\&=\neg(A\cdot\neg B)\cdot\neg(\neg A\cdot B)\\&=(\neg A+B)(A+\neg B).\end{aligned}\]

Раскроем скобки:

\[\begin{aligned}(\neg A+B)(A+\neg B)&=\neg A\cdot A+\neg A\cdot\neg B+B\cdot A+B\cdot\neg B\\&=0+\neg A\cdot\neg B+A\cdot B+0\\&=A\cdot B+\neg A\cdot\neg B.\end{aligned}\]

Следовательно, \(A\leftrightarrow B=\neg(A\oplus B)=A\cdot B+\neg A\cdot\neg B\).

2. Исключающее «ИЛИ»:

Операция \(A\oplus B\) истинна тогда и только тогда, когда значения A и B различаются: либо \(A=1, B=0\), либо \(A=0, B=1\). Поэтому

\[A\oplus B=A\cdot\neg B+\neg A\cdot B.\]

3. Импликация:

Импликация \(A\to B\) ложна только в случае \(A=1, B=0\). Это выражается формулой \(A\cdot\neg B\). Следовательно, отрицание этого случая даёт:

\[A\to B=\neg(A\cdot\neg B)=\neg A+B.\]

Последнее равенство получено по закону де Моргана.

Ответ: все три логических тождества доказаны.