Докажите неравенство: 1) $28a-32\le 7a^2-4$; 2) $9x^2-6xy+4y^2\ge 0$; 3) $3(b-1)<b(b+1)$; 4) $(4p-1)(p+1)-(p-3)(p+3)>3(p^2+p)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Докажите неравенство: 1) $28a-32\le 7a^2-4$; 2) $9x^2-6xy+4y^2\ge 0$; 3) $3(b-1)3(p^2+p)$.$ Фото задания

Accepted Answer

1) Перенесём все слагаемые в правую часть:

$7a^2-4-28a+32\ge 0$.

Сгруппируем и разложим на квадрат:

$7a^2-28a+28=7(a^2-4a+4)=7(a-2)^2\ge 0$.

Неравенство доказано, так как квадрат любого числа неотрицателен.

2) Выделим полный квадрат:

$9x^2-6xy+4y^2=(3x-y)^2+3y^2$.

Оба слагаемых неотрицательны, поэтому

$(3x-y)^2+3y^2\ge 0$.

Неравенство доказано.

3) Перенесём левую часть в правую:

$b(b+1)-3(b-1)>0$.

Раскроем скобки:

$b^2+b-3b+3=b^2-2b+3=(b-1)^2+2$.

Так как $(b-1)^2\ge 0$, то $(b-1)^2+2>0$. Следовательно, исходное неравенство верно.

4) Раскроем скобки в левой части:

$(4p-1)(p+1)-(p-3)(p+3)=$

$4p^2+3p-1-(p^2-9)=3p^2+3p+8$.

Тогда исходное неравенство принимает вид:

$3p^2+3p+8>3p^2+3p$.

После сокращения получаем $8>0$, что верно.

Ответ: все четыре неравенства доказаны.

Докажите неравенство: 1) \(28a-32\le 7a^2-4\); 2) \(9x^2-6xy+4y^2\ge 0\); 3) \(3(b-1)<b(b+1)\); 4) \((4p-1)(p+1)-(p-3)(p+3)>3(p^2+p)\).