Докажите неравенство: а) \(6a(a+1)<(3a+1)(2a+1)+a\); б) \((2p-1)(2p+1)+3(p+1)>(4p+3)p\).

а) Раскроем скобки:

\(6a(a+1)=6a^2+6a\).

\((3a+1)(2a+1)+a=6a^2+5a+1+a=6a^2+6a+1\).

Значит, исходное неравенство равносильно неравенству \(6a^2+6a<6a^2+6a+1\), то есть \(0<1\), что верно.

б) Раскроем скобки:

\((2p-1)(2p+1)+3(p+1)=4p^2-1+3p+3=4p^2+3p+2\).

\((4p+3)p=4p^2+3p\).

Следовательно, исходное неравенство равносильно \(4p^2+3p+2>4p^2+3p\), то есть \(2>0\), что верно.

Ответ: оба неравенства верны при любых действительных значениях переменных.