Докажите неравенство: a) a² + b² + 4 ≥ 2(a + b + 1);

Решение:

Нам нужно доказать неравенство a² + b² + 4 ≥ 2(a + b + 1). Давайте преобразуем его:

• Раскроем скобки в правой части: a² + b² + 4 ≥ 2a + 2b + 2
• Перенесем все члены в левую часть: a² - 2a + b² - 2b + 4 - 2 ≥ 0
• Сгруппируем члены: (a² - 2a) + (b² - 2b) + 2 ≥ 0
• Дополним до полных квадратов. Для этого добавим и вычтем 1 к каждой группе (a² - 2a + 1) - 1 + (b² - 2b + 1) - 1 + 2 ≥ 0
• Упростим: (a - 1)² + (b - 1)² - 1 - 1 + 2 ≥ 0
• Получим: (a - 1)² + (b - 1)² ≥ 0

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то (a - 1)² ≥ 0 и (b - 1)² ≥ 0. Следовательно, их сумма также неотрицательна: (a - 1)² + (b - 1)² ≥ 0. Это доказывает исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.