843. Докажите неравенство: a) 262 - 6b + 1 > 2b(b − 3); б) (с + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5); в) р(р + 7) > 7p - 1; г) 8у(Зу – 10) < (5у - 8)².

Разбираемся с неравенствами!

Краткое пояснение: Чтобы доказать неравенство, нужно упростить обе части, привести подобные слагаемые и показать, что неравенство выполняется при всех значениях переменных.

а) 2b² - 6b + 1 > 2b(b - 3)

1. Шаг 1: Раскрываем скобки в правой части неравенства:
   \[ 2b^2 - 6b + 1 > 2b^2 - 6b \]
2. Шаг 2: Переносим все члены в левую часть:
   \[ 2b^2 - 6b + 1 - 2b^2 + 6b > 0 \]
3. Шаг 3: Упрощаем:
   \[ 1 > 0 \]
4. Итог: Неравенство \( 1 > 0 \) верно для всех значений \( b \).

Ответ: Неравенство доказано.

б) (c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5)

1. Шаг 1: Раскрываем скобки в обеих частях неравенства:
   \[ c^2 + 6c + 2c + 12 < c^2 + 5c + 3c + 15 \]
   \[ c^2 + 8c + 12 < c^2 + 8c + 15 \]
2. Шаг 2: Переносим все члены в левую часть:
   \[ c^2 + 8c + 12 - c^2 - 8c - 15 < 0 \]
3. Шаг 3: Упрощаем:
   \[ -3 < 0 \]
4. Итог: Неравенство \( -3 < 0 \) верно для всех значений \( c \).

Ответ: Неравенство доказано.

в) p(p + 7) > 7p - 1

1. Шаг 1: Раскрываем скобки в левой части неравенства:
   \[ p^2 + 7p > 7p - 1 \]
2. Шаг 2: Переносим все члены в левую часть:
   \[ p^2 + 7p - 7p + 1 > 0 \]
3. Шаг 3: Упрощаем:
   \[ p^2 + 1 > 0 \]
4. Итог: Неравенство \( p^2 + 1 > 0 \) верно для всех значений \( p \), так как квадрат любого числа неотрицателен и прибавляется 1.

Ответ: Неравенство доказано.

г) 8y(3y – 10) < (5y - 8)²

1. Шаг 1: Раскрываем скобки в обеих частях неравенства:
   \[ 24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64 \]
2. Шаг 2: Переносим все члены в левую часть:
   \[ 24y^2 - 80y - 25y^2 + 80y - 64 < 0 \]
3. Шаг 3: Упрощаем:
   \[ -y^2 - 64 < 0 \]
4. Шаг 4: Умножаем обе части на -1 (меняем знак неравенства):
   \[ y^2 + 64 > 0 \]
5. Итог: Неравенство \( y^2 + 64 > 0 \) верно для всех значений \( y \), так как квадрат любого числа неотрицателен и прибавляется 64.

Ответ: Неравенство доказано.