718. Докажите неравенство: a) a (a+b)≥ab; 2 2 б) м² -mn+n² ≥ mn; 2 в) 2bc <b²+c²; г) a (a - b)≥b (a−b).

a) $$a(a+b) \ge ab$$

Раскроем скобки:

$$a^2 + ab \ge ab$$

Перенесем $$ab$$ в правую часть:

$$a^2 + ab - ab \ge 0$$

$$a^2 \ge 0$$

Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, следовательно, неравенство доказано.

б) $$m^2 - mn + n^2 \ge mn$$

Перенесем $$mn$$ в левую часть:

$$m^2 - mn - mn + n^2 \ge 0$$

$$m^2 - 2mn + n^2 \ge 0$$

Разложим на множители, используя формулу квадрата разности: $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Получаем: $$(m - n)^2 \ge 0$$

Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, следовательно, неравенство доказано.

в) $$2bc \le b^2 + c^2$$

Перенесем $$2bc$$ в правую часть:

$$b^2 + c^2 - 2bc \ge 0$$

Разложим на множители, используя формулу квадрата разности: $$(b - c)^2 \ge 0$$

Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, следовательно, неравенство доказано.

г) $$a(a - b) \ge b(a - b)$$ Раскроем скобки:

$$a^2 - ab \ge ab - b^2$$

Перенесем все в левую часть:

$$a^2 - ab - ab + b^2 \ge 0$$

$$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$$

Разложим на множители, используя формулу квадрата разности: $$(a - b)^2 \ge 0$$

Получаем: $$(a - b)^2 \ge 0$$

Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, следовательно, неравенство доказано.

Ответ: Неравенства доказаны.