Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
343. Докажите неравенство: a) 2b² - 6b + 1 > 2b(b - 3); б) (с + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5); в) р(р + 7) > 7p - 1; г) 8у(зу - 10) < (5у - 8)².
Ответ:
а) 2b² - 6b + 1 > 2b(b - 3)
Краткое пояснение: Чтобы доказать неравенство, нужно упростить обе его части и привести к виду, когда можно сделать вывод об истинности или ложности неравенства.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Раскрываем скобки в правой части неравенства: \(2b^2 - 6b + 1 > 2b^2 - 6b\)
- Шаг 2: Переносим все члены в левую часть: \(2b^2 - 6b + 1 - 2b^2 + 6b > 0\)
- Шаг 3: Упрощаем, приводим подобные члены: \(1 > 0\).
Так как \(1 > 0\) это истинное утверждение, то исходное неравенство верно для всех значений \(b\).
б) (с + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5)
Краткое пояснение: Раскрываем скобки в обеих частях неравенства, чтобы упростить выражение.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Раскрываем скобки в левой части: \(c^2 + 6c + 2c + 12 < c^2 + 8c + 15\)
- Шаг 2: Раскрываем скобки в правой части: \(c^2 + 8c + 12 < c^2 + 8c + 15\)
- Шаг 3: Переносим все в левую часть: \(c^2 + 8c + 12 - c^2 - 8c - 15 < 0\)
- Шаг 4: Упрощаем, приводим подобные члены: \(-3 < 0\).
Так как \(-3 < 0\) это истинное утверждение, то исходное неравенство верно для всех значений \(c\).
в) р(р + 7) > 7p - 1
Краткое пояснение: Упростим неравенство и приведем его к стандартному виду квадратного неравенства.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Раскрываем скобки: \(p^2 + 7p > 7p - 1\)
- Шаг 2: Переносим все члены в левую часть: \(p^2 + 7p - 7p + 1 > 0\)
- Шаг 3: Упрощаем: \(p^2 + 1 > 0\).
Так как \(p^2\) всегда неотрицательно, а \(p^2 + 1\) всегда больше нуля, то данное неравенство верно для всех значений \(p\).
г) 8у(зу - 10) < (5у - 8)²
Краткое пояснение: Раскрываем скобки и приводим подобные члены, чтобы упростить неравенство.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Раскрываем скобки в левой части: \(24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64\)
- Шаг 2: Раскрываем скобки в правой части: \(24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64\)
- Шаг 3: Переносим все в правую часть: \(0 < y^2 + 64\)
- Шаг 4: Упрощаем: \(y^2 + 64 > 0\).
Так как \(y^2\) всегда неотрицательно, а \(y^2 + 64\) всегда больше нуля, то данное неравенство верно для всех значений \(y\).
