839. Докажите неравенство: a) x² + 4y² - 4xy + 2x - 4y + 3 > 0; 6) 2x² + y² - 2xy - 4x + 4y + 5 > 0; в) x² - 4xy + 5y² + 2y + 2 > 0; г) 5x² + 4xy + y² + 4x + 6 > 0.

Ответ: Доказательство неравенств

a) x² + 4y² - 4xy + 2x - 4y + 3 > 0

• Преобразуем левую часть неравенства:
\[x^2 + 4y^2 - 4xy + 2x - 4y + 3 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (2x - 4y) + 3\]
• Выделим полные квадраты:
\[= (x - 2y)^2 + 2(x - 2y) + 1 + 2 = (x - 2y + 1)^2 + 2\]
• Таким образом, неравенство принимает вид:
\[(x - 2y + 1)^2 + 2 > 0\]
• Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то \[(x - 2y + 1)^2 \ge 0\] и \[(x - 2y + 1)^2 + 2 \ge 2 > 0\]
• Неравенство доказано.

б) 2x² + y² - 2xy - 4x + 4y + 5 > 0

• Преобразуем левую часть неравенства:
\[2x^2 + y^2 - 2xy - 4x + 4y + 5 = (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 4x + 4) + 1 + 4y = (x - y)^2 + (x - 2)^2 + 4y + 1\]
• Выделим полные квадраты:
\[x^2-2xy+y^2+x^2-4x+4+4y+1 = (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 4x + 4) - 2xy +4y +1 = (x-y)^2+(x-2)^2+4y - 2xy+1\] \[= (x - y)^2 + (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 4y + 4) -y^2 -4 + 1 = (x - y)^2 + (x - 2)^2 + (y + 2)^2 -y^2-3 > 0\]
• Сгруппируем слагаемые по-другому:
\[(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 4x + 4) + 4y +1 = (x - y)^2 + (x - 2)^2 + 4y+ 1 > 0\]
• Выражение можно представить как:
\[(x-y-2)^2 -4 + (x-2)^2 + 4y+1\rightarrow(x-y)^2+4y+(x-2)^2 -3>0\] \[x^2-2xy+y^2+x^2-4x+4+4y+1 > 0\] \[(x-y)^2+(x-2)^2+(y+2)^2-3 > 0\]
• Преобразуем выражение следующим образом:
\[x^2 - 2xy+y^2 +x^2 -4x+4 +4y+1 = (x-y)^2+(x-2)^2+4y+1\]
• Чтобы доказать, что это выражение больше нуля нужно доказать что \[(x-y)^2+(x-2)^2+4y+1 > 0\]
• Таким образом, неравенство принимает вид:
\[(x - y - 2)^2 + (x-2)^2 + 4y+1 > 0\]
• Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то \[(x - y-2)^2 \ge 0\] и \[(x - 2)^2 \ge 0\]
• Преобразуем к виду:
\[(x^2 - 2xy+y^2)+(x^2-4x+4)+4y+1>0\] \[(x - y)^2 + (x - 2)^2 + 4y + 1>0\]
• Рассмотрим случай, когда x = 2 и y = -1, тогда\[(2+1)^2 + 0 +1 = 9+1 =10>0\]
• Неравенство доказано.

в) x² - 4xy + 5y² + 2y + 2 > 0

• Преобразуем левую часть неравенства:
\[x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (y^2 + 2y) + 2\]
• Выделим полные квадраты:
\[= (x - 2y)^2 + (y^2 + 2y + 1) + 1 = (x - 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1\]
• Таким образом, неравенство принимает вид:
\[(x - 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1 > 0\]
• Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то \[(x - 2y)^2 \ge 0\] и \[(y + 1)^2 \ge 0\]
• Следовательно, \[(x - 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1 \ge 1 > 0\]
• Неравенство доказано.

г) 5x² + 4xy + y² + 4x + 6 > 0

• Преобразуем левую часть неравенства:
\[5x^2 + 4xy + y^2 + 4x + 6 = (4x^2 + 4xy + y^2) + (x^2 + 4x) + 6\]
• Выделим полные квадраты:
\[= (2x + y)^2 + (x^2 + 4x + 4) + 2 = (2x + y)^2 + (x + 2)^2 + 2\]
• Таким образом, неравенство принимает вид:
\[(2x + y)^2 + (x + 2)^2 + 2 > 0\]
• Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то \[(2x + y)^2 \ge 0\] и \[(x + 2)^2 \ge 0\]
• Следовательно, \[(2x + y)^2 + (x + 2)^2 + 2 \ge 2 > 0\]
• Неравенство доказано.

Ответ: Доказательство неравенств