Докажите подобие треугольников АВС и КСМ.

Решение:

Чтобы доказать подобие треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle KSM \), нам нужно найти два равных угла в этих треугольниках.

Из рисунка видно, что \( \angle AKC = 90^{\circ} \) и \( \angle BMC = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \angle KCM \) является вертикальным углом к \( \angle ACB \). Вертикальные углы равны.

Таким образом, мы имеем:

1. \( \angle AKC = \angle BMC = 90^{\circ} \) (по условию, так как \( CK \perp AM \) и \( BM \perp AM \)).
2. \( \angle KCM = \angle ACB \) (как вертикальные углы).

Два угла \( \triangle KCM \) равны двум соответствующим углам \( \triangle ABC \). Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум углам), \( \triangle ABC \sim \triangle KSM \).

Ответ: Треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle KSM \) подобны по двум углам: \( \angle AKC = \angle BMC = 90^{\circ} \) и \( \angle KCM = \angle ACB \) (вертикальные углы).