510 Докажите признаки ромба. Параллелограмм является ром- бом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диа- гональ делит его угол пополам.

Доказательство признаков ромба.

а) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

Пусть ABCD - параллелограмм, в котором диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O. Тогда треугольники AOB, BOC, COD и DOA являются прямоугольными и равными, так как AO = OC (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам) и BO = OD (по той же причине). Следовательно, AB = BC = CD = DA, то есть все стороны параллелограмма равны, а значит, ABCD - ромб.

б) Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

Пусть ABCD - параллелограмм, в котором диагональ AC делит угол A пополам. Тогда ∠BAC = ∠DAC. Так как ABCD - параллелограмм, то AD || BC, и ∠DAC = ∠BCA (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). Следовательно, ∠BAC = ∠BCA. Значит, треугольник ABC равнобедренный, и AB = BC. Поскольку ABCD - параллелограмм, то AB = CD и BC = AD. Таким образом, AB = BC = CD = AD, то есть все стороны параллелограмма равны, а значит, ABCD - ромб.

Ответ: Доказано, что параллелограмм является ромбом, если его диагонали взаимно перпендикулярны или диагональ делит его угол пополам.