Докажите равенство: \(\left(\frac{1}{27b^3}+\frac{1}{a^3}\right)\left(\frac{a^2-3ab}{3ab-a^2-9b^2}+1\right)=\frac{a+3b}{3a^3b}\).

Преобразуем первую скобку, используя сумму кубов:

\(\frac{1}{27b^3}+\frac{1}{a^3}=\frac{a^3+27b^3}{27a^3b^3}=\frac{(a+3b)(a^2-3ab+9b^2)}{27a^3b^3}\).

Упростим вторую скобку:

\(\frac{a^2-3ab}{3ab-a^2-9b^2}+1=\frac{a^2-3ab+3ab-a^2-9b^2}{3ab-a^2-9b^2}=\frac{-9b^2}{-(a^2-3ab+9b^2)}=\frac{9b^2}{a^2-3ab+9b^2}\).

Перемножим полученные выражения и сократим общие множители:

\(\frac{(a+3b)(a^2-3ab+9b^2)}{27a^3b^3}\cdot\frac{9b^2}{a^2-3ab+9b^2}=\frac{a+3b}{3a^3b}\).

Равенство доказано при допустимых значениях переменных: \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(3ab-a^2-9b^2\ne0\).