1. Докажите равенство отрезков АО и ОС. A C 0 2. В прямоугольных треугольниках PQR и XYZ с прямыми углами Q и У равны катеты РФ и ХУ, ZP = 25°, ZZ = 65°. Докажите, что треугольники PQR и XYZ равны. 3. В треугольнике KLM с с равными сторонами KL и LM проведена медиана LN. Найдите равные прямоугольные треугольники и докажите их равенство. 4. На сторонах АВ и ВС в треугольнике АВС отмечены соответственно точки К и М, из которых проведены перпендикуляры К№ и МН к прямой АС, причём точки № и Н лежат на отрезке АС. Известно, что KN = МН и AN = CH. а) Определите вид треугольника АВС. 6) Найдите остальные углы треугольника, если ∠A = 38°.

Задача 2: Доказательство равенства треугольников PQR и XYZ

В прямоугольных треугольниках PQR и XYZ дано:

• Углы Q и Y прямые (90°).
• PQ = XY
• ∠P = 25°, ∠Z = 65°

Надо доказать, что треугольники PQR и XYZ равны.

Решение:

Сначала найдём угол R в треугольнике PQR:

\[ ∠R = 90° - ∠P = 90° - 25° = 65° \]

Теперь найдём угол X в треугольнике XYZ:

\[ ∠X = 90° - ∠Z = 90° - 65° = 25° \]

Теперь у нас есть:

• PQ = XY (по условию)
• ∠P = ∠X = 25°
• ∠R = ∠Z = 65°

Таким образом, треугольники PQR и XYZ равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

Ответ: Треугольники PQR и XYZ равны.

Задача 3: Поиск равных прямоугольных треугольников в треугольнике KLM

В треугольнике KLM дано:

• KL = LM (треугольник равнобедренный)
• LN - медиана

Надо найти равные прямоугольные треугольники и доказать их равенство.

Решение:

Так как LN - медиана равнобедренного треугольника KLM, проведённая к основанию KM, то LN также является высотой и биссектрисой.

Таким образом, LN перпендикулярна KM, и углы ∠LNK и ∠LNM равны 90°.

Рассмотрим треугольники LNK и LNM:

• LN - общая сторона
• ∠LNK = ∠LNM = 90°
• KN = NM (так как LN - медиана)

Следовательно, треугольники LNK и LNM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Треугольники LNK и LNM равны и являются прямоугольными.

Задача 4: Определение вида и углов треугольника ABC

В треугольнике ABC дано:

• KN и MH - перпендикуляры к AC
• KN = MH
• AN = CH
• ∠A = 38°

Надо определить вид треугольника ABC и найти остальные углы.

Решение:

a) Рассмотрим треугольники ANK и CHM:

• KN = MH (по условию)
• AN = CH (по условию)
• ∠ANK = ∠CHM = 90° (так как KN и MH - перпендикуляры)

Следовательно, треугольники ANK и CHM равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что ∠A = ∠C.

Так как ∠A = 38°, то и ∠C = 38°.

Теперь найдём угол B:

\[ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 38° - 38° = 104° \]

Так как ∠A = ∠C, треугольник ABC - равнобедренный.

б) Углы треугольника ABC:

• ∠A = 38°
• ∠B = 104°
• ∠C = 38°

Ответ: Треугольник ABC - равнобедренный, ∠B = 104°, ∠C = 38°.