Докажите равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Ответ: Доказательство равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу приведено ниже.

Доказательство:

1. Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠C = ∠C₁ = 90°, AB = A₁B₁ (гипотенузы равны) и ∠A = ∠A₁ (острые углы равны).
2. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, и ∠C = ∠C₁ = 90°, то углы ∠B и ∠B₁ также равны: ∠B = 90° - ∠A и ∠B₁ = 90° - ∠A₁. Поскольку ∠A = ∠A₁, то и ∠B = ∠B₁.
3. Теперь у нас есть два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых равны гипотенузы (AB = A₁B₁) и два угла (∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁).
4. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует, что если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
5. В нашем случае, так как гипотенузы и острые углы равны, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу приведено ниже.