6.1. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведённой к другому катету.

Доказательство: Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A1B1C1, где \(\angle C = \angle C_1 = 90^{\circ}\), AC = A1C1 и медиана BM = B1M1, где M и M1 – середины катетов A1C1 и AC соответственно. Докажем, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\). 1. Дано, что AC = A1C1. 2. Так как BM и B1M1 – медианы, то AM = \(\frac{1}{2}\)AC и A1M1 = \(\frac{1}{2}\)A1C1. Следовательно, AM = A1M1. 3. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). 4. По теореме Пифагора для \(\triangle BCM\): \(BM^2 = BC^2 + CM^2\), и для \(\triangle B_1C_1M_1\): \(B_1M_1^2 = B_1C_1^2 + C_1M_1^2\). 5. Из условия BM = B1M1, следовательно, \(BM^2 = B_1M_1^2\). Таким образом, \(BC^2 + CM^2 = B_1C_1^2 + C_1M_1^2\). 6. Поскольку M и M1 – середины AC и A1C1 соответственно, то CM = \(\frac{1}{2}\)AC и C1M1 = \(\frac{1}{2}\)A1C1. Так как AC = A1C1, то CM = C1M1. 7. Теперь, из равенства \(BC^2 + CM^2 = B_1C_1^2 + C_1M_1^2\) и CM = C1M1, следует, что \(BC^2 = B_1C_1^2\), следовательно, BC = B1C1. 8. Итак, мы имеем AC = A1C1 и BC = B1C1. Так как \(\angle C = \angle C_1 = 90^{\circ}\), то по двум катетам прямоугольные треугольники ABC и A1B1C1 равны. **Ответ: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\)**