79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по медиане, проведённой к основанию, и углу при вершине.

Для доказательства равенства равнобедренных треугольников необходимо показать, что если у двух равнобедренных треугольников равны медианы, проведённые к основаниям, и углы при вершинах, то такие треугольники равны.

1. Пусть даны два равнобедренных треугольника: $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, где $$AB = BC$$ и $$A_1B_1 = B_1C_1$$.

2. Пусть $$BM$$ и $$B_1M_1$$ - медианы, проведённые к основаниям $$AC$$ и $$A_1C_1$$ соответственно. Тогда $$AM = MC$$ и $$A_1M_1 = M_1C_1$$.

3. По условию, $$BM = B_1M_1$$ и $$\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$$.

4. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $$\angle ABM = \frac{1}{2} \angle ABC$$ и $$\angle A_1B_1M_1 = \frac{1}{2} \angle A_1B_1C_1$$.

5. Так как $$\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$$, то $$\angle ABM = \angle A_1B_1M_1$$.

6. Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$. У них:

   • $$BM = B_1M_1$$ (по условию)
   • $$\angle ABM = \angle A_1B_1M_1$$ (доказано выше)
   • $$\angle BMA = \angle B_1M_1A_1 = 90^\circ$$ (медиана является высотой)

   Следовательно, треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

7. Из равенства треугольников $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ следует, что $$AB = A_1B_1$$ и $$AM = A_1M_1$$.

8. Так как $$AB = A_1B_1$$ и $$\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$$, а также $$AC = 2AM$$ и $$A_1C_1 = 2A_1M_1$$, то $$AC = A_1C_1$$.

9. Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. У них:

   • $$AB = A_1B_1$$ (доказано выше)
   • $$AC = A_1C_1$$ (доказано выше)
   • $$\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$$ (по условию)

   Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Таким образом, равенство равнобедренных треугольников доказано.