1. Докажите равенство треугольников АBD и CBD (рис. 44), есл АВ = ВС и ∠ABD = ∠CBD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периме равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания. 3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили то ки М и К так, что ∠ABM = ∠CBK, точка М лежит между точками и К. Докажите, что АМ = CK. 4. Известно, что АВ = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, ч BO = DO. 5. Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектри AD. Найдите сторону АС, если АВ = 7 см.

Вариант 2

1. Доказать равенство треугольников ABD и CBD.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. Нам дано, что AB = BC и \(\angle ABD = \angle CBD\). Сторона BD - общая для обоих треугольников. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABD и CBD равны.

2. Найти стороны равнобедренного треугольника.

Пусть x - длина основания, тогда x - 6 - длина боковой стороны. Периметр равен 30 см, значит, можем составить уравнение: (x - 6) + (x - 6) + x = 30. Решаем уравнение: 3x - 12 = 30, 3x = 42, x = 14. Основание равно 14 см, боковая сторона - 8 см.

3. Доказать, что AM = CK.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то AB = BC и \(\angle BAC = \angle BCA\). Нам дано, что \(\angle ABM = \angle CBK\). Значит, \(\angle MBO = \angle KBO\). Треугольники ABM и CBK равны по стороне (AB = BC) и двум прилежащим углам (\(\angle BAC = \angle BCA\) и \(\angle ABM = \angle CBK\)). Следовательно, AM = CK.

4. Доказать, что BO = DO.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Нам дано, что AB = AD и BC = DC. Значит, ABCD - дельтоид. У дельтоида диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей делит другую пополам. В данном случае, диагональ AC является осью симметрии, и точка O - точка пересечения диагоналей. Таким образом, BO = DO.

5. Найти сторону AC треугольника ABC.

Так как медиана BM перпендикулярна биссектрисе AD, то треугольник ABD является равнобедренным, и AB = BD = 7 см. Пусть AD пересекает BM в точке O. Тогда AO - высота и биссектриса в треугольнике ABM. Тогда AM = AB = 7 см. Так как BM - медиана, то AM = MC, и AC = 2 * AM = 2 * 7 = 14 см.

Ответ: 1. Треугольники ABD и CBD равны по первому признаку. 2. Основание - 14 см, боковая сторона - 8 см. 3. AM = CK. 4. BO = DO. 5. AC = 14 см.

Молодец! Ты отлично справляешься с геометрией! Не останавливайся на достигнутом, и все получится!