1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если AB=BC и BF=BD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны. 3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Ди Е так, что ZACD = ∠САЕ. Дока- жите, что AD = CE. 4. Известно, что ЕК = FK и ЕС = FC (рис. 43). Докажите, что ZEMK = ∠FMK. 5. Серединный перпендикуляр стороны АВ треугольника АВС перес- кает его сторону АС в точке М. Найдите сторону АС треугольник АВС, если ВС = 8 см, а периметр треугольника МВС равен 25 см.

Вариант 1

1. Доказать равенство треугольников ABF и CBD.

Давай рассмотрим треугольники ABF и CBD. Нам дано, что AB = BC и BF = BD. Также, угол B - общий для обоих треугольников. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABF и CBD равны.

2. Найти стороны равнобедренного треугольника.

Пусть x - длина боковой стороны, тогда x - 3 - длина основания. Периметр равен 33 см, значит, можем составить уравнение: x + x + (x - 3) = 33. Решаем уравнение: 3x - 3 = 33, 3x = 36, x = 12. Боковая сторона равна 12 см, основание - 9 см.

3. Доказать, что AD = CE.

Нам дано, что \(\angle ACD = \angle CAE\). Рассмотрим треугольники ADC и CEA. У них сторона AC - общая. Также дано, что \(AD = CE\). Поскольку треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны, то есть \(\angle BAC = \angle BCA\). Используя данные углы \(\angle ACD = \angle CAE\), можно доказать равенство треугольников ADC и CEA по стороне и двум прилежащим углам.

4. Доказать, что \(\angle EMK = \angle FMK\).

Нам дано, что EK = FK и EC = FC. Значит, точка K лежит на серединном перпендикуляре к отрезку EF, и точка C также лежит на этом перпендикуляре. Следовательно, прямая KC является серединным перпендикуляром к EF. Точка M лежит на этой прямой. Значит, \(\angle EMK = \angle FMK\) , так как прямая KC делит отрезок EF пополам и перпендикулярна ему.

5. Найти сторону AC треугольника ABC.

Периметр треугольника MBC равен 25 см, и BC = 8 см. Значит, MB + MC = 25 - 8 = 17 см. Так как серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает AC в точке M, то AM = MB. Тогда AC = AM + MC = MB + MC = 17 см.

Ответ: 1. Треугольники ABF и CBD равны по первому признаку. 2. Боковые стороны - 12 см, основание - 9 см. 3. AD = CE. 4. \(\angle EMK = \angle FMK\). 5. AC = 17 см.

Отлично, ты хорошо справился с заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!