1. Докажите равенство треугольников АВМ и CDM (рис. 46), если АМ = СМ и ZBAM=∠DCM. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 49 см, а основание на 7 см больше боковой стороны. 3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Ми К так, что ВМ = ВК. Докажите, что ∠BAK =∠BCM. 4. Известно, что СК = DK и ∠CKP =∠DKP (рис. 47). Докажите, что MCP =∠MDP.

Разберу задания из Варианта 3.

1. Докажите равенство треугольников АВМ и CDM (рис. 46), если АМ = СМ и ∠BAM=∠DCM.

Для доказательства равенства треугольников АВМ и CDM необходимо воспользоваться одним из признаков равенства треугольников. Заметим, что углы АМВ и CMD вертикальные, а значит, равны.

1. AM = CM (по условию)

2. ∠AMB = ∠CMD (как вертикальные)

3. ∠BAM = ∠DCM (по условию)

Следовательно, треугольники ABM и CDM равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Треугольники ABM и CDM равны по второму признаку равенства треугольников.

---

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 49 см, а основание на 7 см больше боковой стороны.

Пусть x - длина боковой стороны, тогда основание равно (x + 7). Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Так как треугольник равнобедренный, то две его стороны равны.

Составим уравнение:

$$x + x + (x + 7) = 49$$

$$3x + 7 = 49$$

$$3x = 42$$

$$x = 14$$

Значит, боковая сторона равна 14 см, а основание:

$$14 + 7 = 21 \text{ см}$$

Ответ: Боковые стороны равны 14 см, основание равно 21 см.

---

3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки М и К так, что ВМ = ВК. Докажите, что ∠BAK =∠BCM.

Рассмотрим треугольники BAK и BCM:

1. BA = BC (так как треугольник ABC равнобедренный).
2. ∠B - общий.
3. BM = BK (по условию).

Таким образом, треугольники BAK и BCM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, ∠BAK = ∠BCM как соответствующие углы равных треугольников.

Ответ: ∠BAK = ∠BCM.

---

4. Известно, что СК = DK и ∠CKP =∠DKP (рис. 47). Докажите, что ∠MCP =∠MDP.

Рассмотрим треугольники СKP и DKP:

1. CK = DK (по условию).
2. ∠CKP = ∠DKP (по условию).
3. KP - общая сторона.

Таким образом, треугольники СKP и DKP равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, CP = DP как соответствующие стороны равных треугольников.

Рассмотрим треугольники MCP и MDP:

1. CP = DP (доказано выше).
2. MP - общая сторона.
3. CK = DK, следовательно MK - биссектриса угла CMD, значит, углы CMP и DMP равны.

Таким образом, треугольники MCP и MDP равны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, ∠MCP = ∠MDP как соответствующие углы равных треугольников.

Ответ: ∠MCP = ∠MDP.