Докажите тождество: a) \( \frac{\cos 2\alpha}{1+\sin 2\alpha} = \frac{1-\mathrm{tg} \alpha}{1+\mathrm{tg} \alpha} \); б) \( \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} + \sin \alpha}{2 \sin \frac{\alpha}{2} - \sin \alpha} = \mathrm{ctg}^2 \frac{\alpha}{4} \).

Решение:

а) Докажем тождество \( \frac{\cos 2\alpha}{1+\sin 2\alpha} = \frac{1-\mathrm{tg} \alpha}{1+\mathrm{tg} \alpha} \).

1. Преобразуем левую часть, используя формулы двойного угла: \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \), \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
2. \( \mathrm{ЛЧ} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha} \).
3. Заметим, что \( 1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \), поэтому знаменатель равен \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 \).
4. Числитель раскладывается как разность квадратов: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) \).
5. \( \mathrm{ЛЧ} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2} = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} \).
6. Разделим числитель и знаменатель на \( \cos \alpha \) (при \( \cos \alpha \neq 0 \)): \( \mathrm{ЛЧ} = \frac{1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 - \mathrm{tg} \alpha}{1 + \mathrm{tg} \alpha} \).
7. Получили правую часть. Тождество доказано.

б) Докажем тождество \( \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} + \sin \alpha}{2 \sin \frac{\alpha}{2} - \sin \alpha} = \mathrm{ctg}^2 \frac{\alpha}{4} \).

1. Используем формулу синуса двойного угла \( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).
2. \( \mathrm{ЛЧ} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} \).
3. Вынесем общий множитель \( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \) из числителя и знаменателя: \( \mathrm{ЛЧ} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} (1 + \cos \frac{\alpha}{2})}{2 \sin \frac{\alpha}{2} (1 - \cos \frac{\alpha}{2})} = \frac{1 + \cos \frac{\alpha}{2}}{1 - \cos \frac{\alpha}{2}} \).
4. Используем формулы половинного угла: \( 1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \) и \( 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \).
5. \( \mathrm{ЛЧ} = \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{4}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{4}} = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{4}}{\sin^2 \frac{\alpha}{4}} = \mathrm{ctg}^2 \frac{\alpha}{4} \).
6. Получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ: тождества доказаны.