Докажите тождество: (cos α + sin α)² - sin 2α + 1 = 2

Решение:

Нам нужно доказать тождество \( (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 - \sin 2\alpha + 1 = 2 \).

1. Раскроем квадрат суммы в левой части тождества: \( (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha \).
2. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) и формулу двойного угла для синуса \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
3. Подставим эти выражения обратно в левую часть: \( 1 + \sin 2\alpha - \sin 2\alpha + 1 \).
4. Упростим выражение: \( 1 + 1 = 2 \).
5. Таким образом, левая часть тождества равна правой части: \( 2 = 2 \).

Ответ: Тождество доказано.