Докажите тождество: \(\dfrac{a^3-4a}{a+3}\left(\dfrac{3a+9}{2+a}+\dfrac{2a^2+9a+9}{a^2+4a+4}\right)=\dfrac{a^2+6a+9}{a^2-4}\cdot\dfrac{a^3-4a^2+4a}{3+a}\).

Учитываем ограничения: знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому \(a\ne -3,-2,2\).

Разложим многочлены на множители:

\(a^3-4a=a(a-2)(a+2)\), \(3a+9=3(a+3)\), \(2+a=a+2\), \(2a^2+9a+9=(2a+3)(a+3)\), \(a^2+4a+4=(a+2)^2\).

Левая часть:

\(\displaystyle \frac{a(a-2)(a+2)}{a+3}\left(\frac{3(a+3)}{a+2}+\frac{(2a+3)(a+3)}{(a+2)^2}\right)\)

\(\displaystyle =\frac{a(a-2)(a+2)}{a+3}\cdot\frac{3(a+3)(a+2)+(2a+3)(a+3)}{(a+2)^2}\).

В числителе второй дроби выносим \(a+3\), затем упрощаем:

\(\displaystyle =\frac{a(a-2)(a+2)}{a+3}\cdot\frac{(a+3)(5a+9)}{(a+2)^2}=\frac{a(a-2)(5a+9)}{a+2}\).

Правая часть:

\(\displaystyle \frac{(a+3)^2}{(a-2)(a+2)}\cdot\frac{a(a^2-4a+4)}{a+3}=\frac{(a+3)^2}{(a-2)(a+2)}\cdot\frac{a(a-2)^2}{a+3}\)

\(\displaystyle =\frac{a(a-2)(a+3)}{a+2}\).

Полученные выражения не совпадают: например, при \(a=0\) обе части равны нулю, но при \(a=1\) левая часть равна \(-14/3\), а правая — \(-8/3\). Следовательно, записанное равенство не является тождеством; вероятно, в условии есть опечатка.

Ответ: тождество в представленном виде неверно.