Докажите тождество \(\dfrac{ g a+\ctg a}{(\sin a+\cos a)^2}-\dfrac{1}{ g a}= g a\).

Область допустимых значений: \(\sin a\ne0\), \(\cos a\ne0\), \(\sin a+\cos a\ne0\).

Преобразуем первую дробь:

\[\frac{ g a+\ctg a}{(\sin a+\cos a)^2}=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}}{(\sin a+\cos a)^2}=\frac{\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin a\cos a}}{(\sin a+\cos a)^2}=\frac{1}{\sin a\cos a(\sin a+\cos a)^2}.\]

Это выражение не тождественно равно требуемому: например, при \(a=\frac{\pi}{4}\) левая часть равна \(1-1=0\), а правая часть равна \(1\). Следовательно, записанное равенство не является тождеством; вероятно, в условии опечатка.