Докажите тождество: \(\left(\frac{2a-0{,}5b}{4a^2+ab+0{,}25b^2}+\frac{24ab}{64a^3-b^3}+\frac{1}{2a-0{,}5b}\right)\cdot\frac{4a-b}{4}=1\).

Обозначим \(D=4a-b\) и \(Q=16a^2+4ab+b^2\). Тогда знаменатели выражаются так: \(4a^2+ab+0{,}25b^2=\frac{Q}{4}\), \(64a^3-b^3=(4a-b)Q=DQ\), а \(2a-0{,}5b=\frac{D}{2}\).

Преобразуем дроби в скобках:

\[\frac{2a-0{,}5b}{4a^2+ab+0{,}25b^2}=\frac{D/2}{Q/4}=\frac{2D}{Q},\qquad \frac{1}{2a-0{,}5b}=\frac{2}{D}.\]

Приведём сумму к общему знаменателю \(DQ\):

\[\frac{2D}{Q}+\frac{24ab}{DQ}+\frac{2}{D}=\frac{2D^2+24ab+2Q}{DQ}.\]

Раскроем скобки в числителе:

\[2(4a-b)^2+24ab+2(16a^2+4ab+b^2)=64a^2+16ab+4b^2=4Q.\]

Следовательно, сумма в скобках равна \(\frac{4Q}{DQ}=\frac{4}{D}\). Поэтому

\[\frac{4}{D}\cdot\frac{D}{4}=1.\]

При условии, что исходные знаменатели не равны нулю, тождество доказано.