412. Докажите тождество: 1) x²-8x+7=(x-1)(x-7); 2) y²(y-7)(y+2)=y⁵y-14y²; 3) a 4) (a-1)(a+1)(a²+1) = a⁴ - 1; 5) (a-a²+1)(a⁴ + a² + 1) = a⁸ + a⁴ + 1.

Давай докажем каждое тождество по отдельности! 1) x² - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7) Раскроем скобки в правой части: (x - 1)(x - 7) = x² - 7x - x + 7 = x² - 8x + 7 Таким образом, левая и правая части равны, тождество доказано. 2) y²(y - 7)(y + 2) = y⁴ - 5y³ - 14y² Раскроем скобки в левой части: y²(y - 7)(y + 2) = y²(y² + 2y - 7y - 14) = y²(y² - 5y - 14) = y⁴ - 5y³ - 14y² Таким образом, левая и правая части равны, тождество доказано. 3) a³ - 8 = (a - 2)(a² + 2a + 4) Раскроем скобки в правой части, используя формулу разности кубов: (a - 2)(a² + 2a + 4) = a³ + 2a² + 4a - 2a² - 4a - 8 = a³ - 8 Таким образом, левая и правая части равны, тождество доказано. 4) (a - 1)(a + 1)(a² + 1) = a⁴ - 1 Применим формулу разности квадратов: (a - 1)(a + 1) = a² - 1 Теперь умножим на (a² + 1): (a² - 1)(a² + 1) = a⁴ - 1 Таким образом, левая и правая части равны, тождество доказано. 5) (a + a⁴ + 1)(a⁴ - a² + 1) = a⁸ + a⁴ + 1 Умножим многочлены: (a - a² + 1)(a⁴ + a² + 1) = a⁶ + a³ + a - a⁶ - a⁴ - a² + a⁴ + a² + 1 = a⁶ - a⁴ - a² + a⁴ + a² + a⁶ + 1 = a⁸ + a⁴ + 1 Таким образом, левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Все тождества доказаны.

Ты отлично справился! Продолжай в том же духе, и математика станет твоим верным другом!