559. Докажите тождество: a) 2 sint sin 2t + cos 3t = cos t; 1 6) -- 2 sin 15° cos+ 15° = 1/2.

Ответ: a) 2 sin t sin 2t + cos 3t = cos t; б) -- 2 sin (\frac{\alpha}{2} - 15°) cos (\frac{\alpha}{2} + 15°) = \frac{1}{2}.

a) 2 sin t sin 2t + cos 3t = cos t

• Преобразуем произведение синусов в сумму:
• 2 sin t sin 2t = cos(2t - t) - cos(2t + t) = cos t - cos 3t
• Теперь подставим это в исходное выражение:
• cos t - cos 3t + cos 3t = cos t
• cos t = cos t
• Тождество доказано.

б) -- 2 sin (\frac{\alpha}{2} - 15°) cos (\frac{\alpha}{2} + 15°) = \frac{1}{2}.

• Преобразуем произведение синуса и косинуса в сумму:
• -2 sin (\frac{\alpha}{2} - 15°) cos (\frac{\alpha}{2} + 15°) = -[sin((\frac{\alpha}{2} - 15°) + (\frac{\alpha}{2} + 15°)) + sin((\frac{\alpha}{2} - 15°) - (\frac{\alpha}{2} + 15°))]
• = -[sin(α) + sin(-30°)] = -sin(α) + sin(30°) = -sin(α) + \frac{1}{2}
• Это выражение не равно \frac{1}{2} при всех значениях α.
• Вероятно, в условии ошибка и должно быть: sin (\frac{\alpha}{2} - 15°) cos (\frac{\alpha}{2} + 15°) = - \frac{1}{4}

Ответ: a) Тождество доказано: cos t = cos t; б) -sin(α) + \frac{1}{2} не равно \frac{1}{2}