584. Докажите тождество: a) a(b - c) = -a(c – b); 6) (a – x)(b + y) + (a – x)(b - y) = 2b(a – x); в) a(b - c + d) = -a(c – b - d); г) (a – b)(c – d) = (b − a)(d – c); д) (a – b)(b - c) + (b - a)(b - c) = 0; e) 2a(a - b) + 4ab = 2a(a + b).

a) Докажем тождество: $$a(b - c) = -a(c - b)$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$a(b - c) = ab - ac$$

Раскроем скобки в правой части:

$$-a(c - b) = -ac + ab = ab - ac$$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

---

б) Докажем тождество: $$(a – x)(b + y) + (a – x)(b - y) = 2b(a – x)$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$(a – x)(b + y) + (a – x)(b - y) = ab + ay - xb - xy + ab - ay - xb + xy = 2ab - 2xb = 2b(a - x)$$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

---

в) Докажем тождество: $$a(b - c + d) = -a(c – b - d)$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$a(b - c + d) = ab - ac + ad$$

Раскроем скобки в правой части:

$$-a(c - b - d) = -ac + ab + ad = ab - ac + ad$$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

---

г) Докажем тождество: $$(a – b)(c – d) = (b − a)(d – c)$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$(a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd$$

Раскроем скобки в правой части:

$$(b - a)(d - c) = bd - bc - ad + ac = ac - ad - bc + bd$$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

---

д) Докажем тождество: $$(a – b)(b - c) + (b - a)(b - c) = 0$$.

Вынесем общий множитель за скобки в левой части:

$$(a – b)(b - c) + (b - a)(b - c) = (b - c)(a - b + b - a) = (b - c) \\\cdot 0 = 0$$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

---

e) Докажем тождество: $$2a(a - b) + 4ab = 2a(a + b)$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$2a(a - b) + 4ab = 2a^2 - 2ab + 4ab = 2a^2 + 2ab$$

Раскроем скобки в правой части:

$$2a(a + b) = 2a^2 + 2ab$$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.