Краткое пояснение: В данном задании необходимо выполнить ряд упражнений по тригонометрии, включая доказательство тождества, применение формул сложения и приведения, вычисление значений выражений и упрощение выражений.
\[\tg(\alpha + \beta) - (\tg\alpha + \tg\beta) - \tg(\alpha + \beta)\tg\alpha\tg\beta = 0\]
Используем формулу тангенса суммы:
\[\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}\]
Подставим в исходное выражение:
\[\frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta} - (\tg\alpha + \tg\beta) - \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta} \cdot \tg\alpha\tg\beta\]
Приведем к общему знаменателю:
\[\frac{(\tg\alpha + \tg\beta) - (\tg\alpha + \tg\beta)(1 - \tg\alpha\tg\beta) - (\tg\alpha + \tg\beta)\tg\alpha\tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}\]
Раскроем скобки:
\[\frac{\tg\alpha + \tg\beta - \tg\alpha + \tg^2\alpha\tg\beta - \tg\beta + \tg\alpha\tg^2\beta - \tg^2\alpha\tg\beta - \tg\alpha\tg^2\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}\]
После упрощения числитель равен 0, следовательно, все выражение равно 0.
\[0 = 0\]
Тождество доказано.
- 154. Используя формулы сложения, найдите:
- cos 75°
\[\cos 75° = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\]
- ctg 75°
\[\ctg 75° = \frac{\cos 75°}{\sin 75°}\]
\[\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]
\[\ctg 75° = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}\]
- 155. Дано: cos a = -9/41, 90° < a < 180°. Найдите cos(a + 45°).
\[\cos(\alpha + 45°) = \cos\alpha \cos 45° - \sin\alpha \sin 45°\]
\[\cos\alpha = -\frac{9}{41}\]
Т.к. \(90° < \alpha < 180°\), то \(\sin\alpha > 0\).
\[\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{9}{41}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{81}{1681}} = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41}\]
\[\cos(\alpha + 45°) = -\frac{9}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{40}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{49\sqrt{2}}{82}\]
- 156. Дано: cosa = 0.8, cosẞ = -0,96, 270° < α < 360°, 180° < β < 270°. Найдите sin(α – β).
\[\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta\]
\[\cos\alpha = 0.8 = \frac{4}{5}\]
Т.к. \(270° < \alpha < 360°\), то \(\sin\alpha < 0\).
\[\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} = -0.6\]
\[\cos\beta = -0.96 = -\frac{24}{25}\]
Т.к. \(180° < \beta < 270°\), то \(\sin\beta < 0\).
\[\sin\beta = -\sqrt{1 - \cos^2\beta} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{576}{625}} = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25} = -0.28\]
\[\sin(\alpha - \beta) = (-0.6) \cdot (-0.96) - 0.8 \cdot (-0.28) = 0.576 + 0.224 = 0.8\]
- 157. Найдите наименьшее значение выражения:
- sin a + cosa
\[\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha\right) = \sqrt{2}(\cos 45° \sin\alpha + \sin 45° \cos\alpha) = \sqrt{2}\sin(\alpha + 45°)\]
Наименьшее значение синуса равно -1, значит, наименьшее значение выражения равно \(-\sqrt{2}\).
- 2 sin a - 7 cos a.
Преобразуем выражение к виду \(R\sin(\alpha + \varphi)\), где \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\):
\[R = \sqrt{2^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}\]
Тогда выражение можно записать как:
\[\sqrt{53} \left(\frac{2}{\sqrt{53}}\sin\alpha - \frac{7}{\sqrt{53}}\cos\alpha\right)\]
Пусть \(\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{53}}\) и \(\sin\varphi = \frac{7}{\sqrt{53}}\, тогда исходное выражение равно:
\[\sqrt{53}(\cos\varphi \sin\alpha - \sin\varphi \cos\alpha) = \sqrt{53}\sin(\alpha - \varphi)\]
Наименьшее значение синуса равно -1, значит, наименьшее значение выражения равно \(-\sqrt{53}\).
- 158. Приведите к тригонометрической функции угла α:
- sin(3π/2-a)
\[\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha\]
- cos(π+α)
\[\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha\]
- ctg(π/2-α)
\[\ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tg\alpha\]
- tg(α-3π/2)
\[\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \tg(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -\tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -(-\ctg\alpha) = \ctg\alpha\]
- 18²(5π/2-a)
\[\lg^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \lg^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \lg^2(\frac{\pi}{2} - \alpha + 2\pi) = \lg^2\alpha\]
- sin²(180° +α).
\[\sin^2(180° + \alpha) = \sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha\]
- 159. Приведите к значению тригонометрической функции положительного аргумента, меньшего 45° (или π/4):
- sin 204°
\[\sin 204° = \sin(180° + 24°) = -\sin 24°\]
- cos 250°
\[\cos 250° = \cos(180° + 70°) = -\cos 70° = -\sin 20°\]
- tg 285°
\[\tg 285° = \tg(360° - 75°) = -\tg 75° = -\ctg 15°\]
- ctg 343°
\[\ctg 343° = \ctg(360° - 17°) = -\ctg 17°\]
- sin 500°
\[\sin 500° = \sin(360° + 140°) = \sin 140° = \sin(180° - 40°) = \sin 40°\]
- ctg(-108°)
\[\ctg(-108°) = -\ctg 108° = -\ctg(180° - 72°) = \ctg 72° = \tg 18°\]
- sin 1,6π
\[\sin 1.6\pi = \sin(1.6\pi - \pi) = \sin 0.6\pi = \sin 108° = \sin(180° - 72°) = \sin 72° = \cos 18°\]
- cos 7π/11
\[\cos\frac{7\pi}{11} = \cos(\pi - \frac{4\pi}{11}) = -\cos\frac{4\pi}{11}\]
Переведем в градусы, чтобы оценить величину угла:
\[\frac{4\pi}{11} = \frac{4 \cdot 180°}{11} = \frac{720°}{11} \approx 65.45°\]
\[-\cos\frac{4\pi}{11} = -\cos(90° - \frac{19\pi}{22}) = -\sin\frac{19\pi}{22}\]
Т.к. нам нужно получить угол меньше 45°, необходимо преобразовать выражение еще раз:
\[\cos\frac{7\pi}{11} = -\cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{11})) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{11}) = -\sin(\frac{11\pi - 14\pi}{22}) = -\sin(-\frac{3\pi}{22}) = \sin\frac{3\pi}{22}\]
Переведем в градусы для проверки:
\[\frac{3\pi}{22} = \frac{3 \cdot 180°}{22} = \frac{540°}{22} \approx 24.55°\]
- tg 925°
\[\tg 925° = \tg(2 \cdot 360° + 205°) = \tg 205° = \tg(180° + 25°) = \tg 25°\]
- sin 1600°
\[\sin 1600° = \sin(4 \cdot 360° + 160°) = \sin 160° = \sin(180° - 20°) = \sin 20°\]
- ctg 2,4π
\[\ctg 2.4\pi = \ctg(2.4\pi - 2\pi) = \ctg 0.4\pi = \ctg 72° = \tg 18°\]
- sin 32π/7.
\[\sin\frac{32\pi}{7} = \sin(\frac{32\pi}{7} - 4\pi) = \sin(\frac{32\pi - 28\pi}{7}) = \sin\frac{4\pi}{7}\]
\[\sin\frac{4\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7}\]
Переведем в градусы для оценки:
\[\frac{3\pi}{7} = \frac{3 \cdot 180°}{7} = \frac{540°}{7} \approx 77.14°\]
\[\sin\frac{3\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{2} + (\frac{3\pi}{7} - \frac{\pi}{2})) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7})) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi - 6\pi}{14}) = \cos\frac{\pi}{14}\]
В градусах это \(\frac{180°}{14} \approx 12.86°\).
- sin 150°
\[\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}\]
- cos 135°
\[\cos 135° = \cos(180° - 45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]
- ctg 300°
\[\ctg 300° = \ctg(360° - 60°) = -\ctg 60° = -\frac{\sqrt{3}}{3}\]
- tg (-13π/6)
\[\tg(-\frac{13\pi}{6}) = -\tg\frac{13\pi}{6} = -\tg(2\pi + \frac{\pi}{6}) = -\tg\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\]
- sin 5π/3
\[\sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]
- sin 7π
\[\sin 7\pi = \sin(6\pi + \pi) = \sin\pi = 0\]
- tg 1050°
\[\tg 1050° = \tg(3 \cdot 360° - 30°) = \tg(-30°) = -\tg 30° = -\frac{\sqrt{3}}{3}\]
- cos 43π/4
\[\cos\frac{43\pi}{4} = \cos(10\pi + \frac{3\pi}{4}) = \cos\frac{3\pi}{4} = \cos(180° - 45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]
- sin (-58π/3)
\[\sin(-\frac{58\pi}{3}) = -\sin\frac{58\pi}{3} = -\sin(19\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -(-\sin\frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
- 161. Найдите значение выражения:
- 2sin210° + tg240° + ctg 120° + 6 cos450°
\[2\sin 210° + \tg 240° + \ctg 120° + 6 \cos 450° = 2 \sin(180° + 30°) + \tg(180° + 60°) + \ctg(90° + 30°) + 6 \cos(360° + 90°) = 2(-\sin 30°) + \tg 60° - \tg 30° + 6 \cos 90° = 2(-\frac{1}{2}) + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} + 6 \cdot 0 = -1 + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = -1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\]
- sin(-11π/6) cos(19π/6) + tg(5π/4) ctg(-5π/3)
\[\sin(-\frac{11\pi}{6}) \cos(\frac{19\pi}{6}) + \tg(\frac{5\pi}{4}) \ctg(-\frac{5\pi}{3}) = \sin(-\frac{11\pi}{6} + 2\pi) \cos(\frac{19\pi}{6} - 3\pi) + \tg(\frac{5\pi}{4} - \pi) \ctg(-\frac{5\pi}{3} + 2\pi) = \sin(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{\pi}{6}) + \tg(\frac{\pi}{4}) \ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{12} = \frac{7\sqrt{3}}{12}\]
- cos 30° + cos40° + cos 50° + ... + cos 150°
Сгруппируем косинусы следующим образом:
\[(\cos 30° + \cos 150°) + (\cos 40° + \cos 140°) + (\cos 50° + \cos 130°) + (\cos 60° + \cos 120°) + (\cos 70° + \cos 110°) + (\cos 80° + \cos 100°) + \cos 90°\]
Т.к. \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\), то каждая пара в скобках равна 0, а \(\cos 90° = 0\).
Следовательно, все выражение равно 0.
\[0\]
- sin 113°cos 323° + cos 247° cos 307°
\[\sin 113° \cos 323° + \cos 247° \cos 307° = \sin(90° + 23°) \cos(360° - 37°) + \cos(180° + 67°) \cos(360° - 53°) = \cos 23° \cos 37° - \cos 67° \cos 53°\]
Т.к. \(\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha\), то \(\cos 67° = \sin 23°\) и \(\cos 53° = \sin 37°\).
\[\cos 23° \cos 37° - \sin 23° \sin 37° = \cos(23° + 37°) = \cos 60° = \frac{1}{2}\]
- 162. Упростите выражение:
- sin(π/2-a)-sin(π-α) - cos(π-α) - sin(2π - α)
\[\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \sin(\pi - \alpha) - \cos(\pi - \alpha) - \sin(2\pi - \alpha) = \cos\alpha - \sin\alpha - (-\cos\alpha) - (-\sin\alpha) = \cos\alpha - \sin\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha = 2\cos\alpha\]
Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика