Док-ть. 8)⩾32\sqrt[5]{xyz} 1) (a+2)(b+8)(c+4)⩾64\sqrt[4]{abc}

Привет! Разберёмся с этими неравенствами.

Задание 8

Предполагаю, что нужно доказать неравенство: \[ x + y + z \ge 3 \sqrt[3]{xyz} \] При условии, что x, y, z > 0. Тогда нам нужно доказать, что: \[ x + y + z \ge 3 \sqrt[3]{xyz} \ge 32 \sqrt[5]{xyz} \] Это не выглядит правдоподобно без дополнительных условий. Возможно, в условии есть опечатка.

Задание 1

Предполагаю, что нужно доказать неравенство: \[ (a+2)(b+8)(c+4) \ge 64 \sqrt[4]{abc} \]

Логика такая: Применим неравенство Коши для каждой скобки: \[ \frac{a+2}{2} \ge \sqrt{2a} \Rightarrow a+2 \ge 2\sqrt{2a} \] \[ \frac{b+8}{2} \ge \sqrt{8b} \Rightarrow b+8 \ge 2\sqrt{8b} \] \[ \frac{c+4}{2} \ge \sqrt{4c} \Rightarrow c+4 \ge 2\sqrt{4c} \]

Теперь перемножим эти неравенства: \[ (a+2)(b+8)(c+4) \ge 2\sqrt{2a} \cdot 2\sqrt{8b} \cdot 2\sqrt{4c} \] \[ (a+2)(b+8)(c+4) \ge 8 \sqrt{64abc} \] \[ (a+2)(b+8)(c+4) \ge 8 \cdot 8 \sqrt{abc} \] \[ (a+2)(b+8)(c+4) \ge 64 \sqrt{abc} \]

Здесь, скорее всего, тоже опечатка в условии. Должно быть 64 \(\sqrt{abc}\) вместо 64 \(\sqrt[4]{abc}\).

Проверка за 10 секунд:Убедитесь, что верно применили неравенство Коши и правильно перемножили все части неравенств.

Читерский прием:Всегда проверяйте условия задач на наличие опечаток, особенно если что-то не получается доказать.