Док-ть. 32/XYR >32aya* 1) (a+2)(6+8)(c+4)> 64Vabc

Решение

Краткое пояснение: Чтобы доказать данное неравенство, используем неравенство Коши для трех чисел. Оно утверждает, что среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому. 1) Преобразуем неравенство, используя неравенство Коши для трех чисел: \[ \frac{(a+2) + (b+8) + (c+4)}{3} \ge \sqrt[3]{(a+2)(b+8)(c+4)} \] \[ (a+2)(b+8)(c+4) \le \Big(\frac{a+b+c+14}{3}\Big)^3 \] 2) По условию, нужно доказать, что \[ (a+2)(b+8)(c+4) > 64\sqrt{abc} \] 3) Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел a, b, и c: \[ \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} \] 4) Выразим \[ a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc} \] 5) Подставим это в наше выражение: \[ \Big(\frac{a+b+c+14}{3}\Big)^3 \ge \Big(\frac{3\sqrt[3]{abc}+14}{3}\Big)^3 \] 6) Нужно доказать, что \[ \Big(\frac{3\sqrt[3]{abc}+14}{3}\Big)^3 > 64\sqrt{abc} \] 7) Обозначим \[ x = \sqrt[3]{abc} \], тогда нужно доказать, что \[ \Big(\frac{3x+14}{3}\Big)^3 > 64x^{\frac{3}{2}} \] 8) Извлечём кубический корень из обеих частей: \[ \frac{3x+14}{3} > 4x^{\frac{1}{2}} \] 9) Умножим обе части на 3: \[ 3x + 14 > 12x^{\frac{1}{2}} \] 10) Пусть \[ y = x^{\frac{1}{2}} \], тогда \[ 3y^2 - 12y + 14 > 0 \] 11) Найдем дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 144 - 168 = -24 < 0 \] 12) Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при \[ y^2 \] положителен, то это неравенство верно для всех y. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Проверка за 10 секунд: Мы использовали неравенство Коши и преобразования, чтобы показать, что \[ (a+2)(b+8)(c+4) > 64\sqrt{abc} \] верно.

Доп. профит: Зная неравенство Коши, можно решать множество задач на доказательство неравенств и оптимизацию.