01.04.26 Дом. зад., геометрия 1) Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 10 и 24, и боковым ребром, равным 18. 2) В правильной треугольной пирамиде SABC точка R – середина ребра ВС, точка S – вершина. Известно, что АВ = 18, а площадь боковой поверхности равна 405. Найти длину отрезка SR. 3) В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁ известно, что DD₁=19, CD=12, AD=9. Найдите длину диагонали СА₁.

1) Площадь поверхности прямой призмы

В основании призмы лежит ромб с диагоналями 10 и 24, а боковое ребро равно 18.

Площадь поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

• Шаг 1: Найдем площадь основания (ромба).

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2\]

Подставляем значения: \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120\]

• Шаг 2: Найдем периметр основания (ромба).

Сторона ромба может быть найдена через его диагонали. Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

\[a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2}\]

Подставляем значения: \[a = \sqrt{(\frac{10}{2})^2 + (\frac{24}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

Периметр ромба: \[P = 4a = 4 \cdot 13 = 52\]

• Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту (боковое ребро): \[S_{бок} = P \cdot h = 52 \cdot 18 = 936\]

• Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности: \[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 936 + 2 \cdot 120 = 936 + 240 = 1176\]

Ответ: 1176

2) Длина отрезка SR в правильной треугольной пирамиде

В правильной треугольной пирамиде SABC точка R – середина ребра BC, точка S – вершина. Известно, что AB = 18, а площадь боковой поверхности равна 405. Нужно найти длину отрезка SR.

• Шаг 1: Найдем площадь одной боковой грани.

Так как пирамида правильная, то все боковые грани равны. Площадь одной боковой грани: \[S_{грани} = \frac{S_{бок}}{3} = \frac{405}{3} = 135\]

• Шаг 2: Найдем апофему (высоту боковой грани).

Площадь боковой грани также можно выразить как половину произведения стороны основания на апофему: \[S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot SR\]

Выражаем апофему SR: \[SR = \frac{2S_{грани}}{a} = \frac{2 \cdot 135}{18} = \frac{270}{18} = 15\]

Ответ: 15

3) Длина диагонали CA₁ в прямоугольном параллелепипеде

В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁ известно, что DD₁=19, CD=12, AD=9. Нужно найти длину диагонали CA₁.

• Шаг 1: Найдем диагональ CA основания.

Так как основание - прямоугольник, то по теореме Пифагора: \[CA = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\]

• Шаг 2: Найдем диагональ CA₁ параллелепипеда.

Диагональ CA₁ также находим по теореме Пифагора, используя диагональ основания CA и высоту DD₁: \[CA_1 = \sqrt{CA^2 + DD_1^2} = \sqrt{15^2 + 19^2} = \sqrt{225 + 361} = \sqrt{586}\]

Ответ: \(\sqrt{586}\)