Дома 1. Луч АК — биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки F и С так, что AF = АС. Докажите, что KF = КС. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания. 3. Докажите равенство треугольников ABD и ACD (рис. 48), если АВ = AC и BD = CD.

1. Доказательство, что KF = KC, если AF = AC и AK - биссектриса угла A.

Рассмотрим треугольники AKF и AKC.

• AF = AC (по условию).
• ∠FAK = ∠CAK (так как AK - биссектриса угла A).
• AK - общая сторона.

Следовательно, треугольники AKF и AKC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть KF = KC.

2. Нахождение сторон равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания.

Пусть x - длина основания треугольника, тогда (x - 6) - длина боковой стороны. Так как треугольник равнобедренный, обе боковые стороны равны (x - 6). Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Составим уравнение:

$$x + (x - 6) + (x - 6) = 30$$

Решим уравнение:

$$3x - 12 = 30$$

$$3x = 42$$

$$x = 14$$

Основание треугольника равно 14 см. Тогда боковая сторона равна 14 - 6 = 8 см.

3. Доказательство равенства треугольников ABD и ACD (рис. 48), если АВ = AC и BD = CD.

Рассмотрим треугольники ABD и ACD.

• AB = AC (по условию).
• BD = CD (по условию).
• AD - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: 1. KF = KC доказано, 2. Основание = 14 см, боковая сторона = 8 см, 3. \(\triangle ABD = \triangle ACD\) доказано