Дома 1. Серединный перпендикуляр к стороне АС равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону АВ в точке Е. Найдите основание ВС, если АС = 15 см, а периметр треугольника ВЕС = 20 см 2. Биссектрисы АА и ВВ, треугольника АВС пересекаются в точке М. Найти углы АСМ и ВСМ, если угол АМВ = 111°. 3. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересекает сторону АС в точке Д. Найдите АС, если ВД =11,4см, АД = 3,2см. 4. Биссектриса угла А равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС, пересекла серединный перпендикуляр к стороне АС в точке О. Найдите ВО, если АО = 10 см.

Задача 1

Пусть AB = BC = x. Так как серединный перпендикуляр к AC пересекает AB в точке E, то AE = EC. Периметр треугольника BEC равен BE + EC + BC = 20 см. Тогда BE + AE + BC = AB + BC = 20 см. Периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC, или x + x + 15. Выразим x:

\[x + x = 20\]

\[2x = 20\]

\[x = 10\]

Значит, BC = 10 см.

Ответ: 10 см

Задача 2

Так как AA₁ и BB₁ — биссектрисы, то точка M — инцентр (центр вписанной окружности) треугольника ABC. Угол AMB = 111°. Используем свойство углов треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Также, зная угол AMB, можно найти сумму углов A и B:

\[\angle AMB = 180 - (\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2})\]

\[111 = 180 - \frac{\angle A + \angle B}{2}\]

\[\frac{\angle A + \angle B}{2} = 180 - 111 = 69\]

\[\angle A + \angle B = 2 \cdot 69 = 138\]

Теперь найдем угол C:

\[\angle C = 180 - (\angle A + \angle B) = 180 - 138 = 42\]

Так как CM — биссектриса угла C, то углы ACM и BCM равны половине угла C:

\[\angle ACM = \angle BCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{42}{2} = 21\]

Ответ: ∠ACM = ∠BCM = 21°

Задача 3

Пусть серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает AC в точке D. Тогда BD = CD = 11.4 см. Также, AD = 3.2 см. Тогда AC = AD + DC = 3.2 + 11.4 = 14.6 см.

Ответ: AC = 14.6 см

Задача 4

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC. Биссектриса угла A пересекает серединный перпендикуляр к стороне AC в точке O. AO = 10 см. Так как треугольник равнобедренный, то AB = AC. Пусть AO пересекает серединный перпендикуляр в точке O. Тогда OA = OC = 10 см. Также, OB = OC = 10 см (так как O лежит на серединном перпендикуляре к AC). Значит, BO = 10 см.

Ответ: BO = 10 см