Дома: В равностороннем треугольнике АВС со стороной АВ равной 4 см медианы пересекаются в точке О. Найдите АО.

Для решения задачи необходимо знать свойства равностороннего треугольника и медиан.

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны, все углы равны 60 градусам, и медианы являются также высотами и биссектрисами.
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть AM – медиана, проведённая из вершины A к стороне BC. Поскольку ABC – равносторонний треугольник, AM также является высотой. Значит, треугольник ABM – прямоугольный, где ∠B = 60°.

Длина стороны AB известна и равна 4 см. Поскольку AM является высотой, она делит сторону BC пополам. Следовательно, BM = BC / 2 = 4 / 2 = 2 см.

В прямоугольном треугольнике ABM можно найти длину высоты AM, используя теорему Пифагора:

$$AM^2 + BM^2 = AB^2$$

$$AM^2 + 2^2 = 4^2$$

$$AM^2 + 4 = 16$$

$$AM^2 = 16 - 4$$

$$AM^2 = 12$$

$$AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

Теперь, зная длину медианы AM, можно найти длину отрезка AO. Точка O делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, AO составляет 2/3 от длины медианы AM:

$$AO = \frac{2}{3} \cdot AM$$

$$AO = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{3}$$

$$AO = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $$AO = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}$$.