5. Домашнее задание: 1)∫₀¹ x dx; 2) ∫₋₁² 3x² dx; 3) ∫₀³ x³ dx; 4) ∫₁² (x² - 2x + 4)dx 5) ∫₁³ (8x³ - 6x + 1) dx 6) ∫₂³ (3x-2)²dx

Привет! Разбираемся с интегралами — это как искать площадь под кривой, только с формулами! Смотри, тут всё просто, сейчас покажу: 1) \(\int_{0}^{1} x \, dx\) \(\int_{0}^{1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \(\frac{1}{2}\)

2) \(\int_{-1}^{2} 3x^2 \, dx\) \(\int_{-1}^{2} 3x^2 \, dx = x^3 \Big|_{-1}^{2} = 2^3 - (-1)^3 = 8 - (-1) = 9\)

Ответ: 9

3) \(\int_{0}^{3} x^3 \, dx\) \(\int_{0}^{3} x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \Big|_{0}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{81}{4}\)

Ответ: \(\frac{81}{4}\)

4) \(\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 4) \, dx\) \(\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 4) \, dx = \left(\frac{x^3}{3} - x^2 + 4x\right) \Big|_{1}^{2} = \left(\frac{8}{3} - 4 + 8\right) - \left(\frac{1}{3} - 1 + 4\right) = \frac{7}{3} + 1 = \frac{10}{3}\)

Ответ: \(\frac{10}{3}\)

5) \(\int_{1}^{3} (8x^3 - 6x + 1) \, dx\) \(\int_{1}^{3} (8x^3 - 6x + 1) \, dx = \left(2x^4 - 3x^2 + x\right) \Big|_{1}^{3} = (2 \cdot 81 - 3 \cdot 9 + 3) - (2 - 3 + 1) = 162 - 27 + 3 - 0 = 138\)

Ответ: 138

6) \(\int_{2}^{3} (3x - 2)^2 \, dx\) \(\int_{2}^{3} (3x - 2)^2 \, dx = \int_{2}^{3} (9x^2 - 12x + 4) \, dx = \left(3x^3 - 6x^2 + 4x\right) \Big|_{2}^{3} = (3 \cdot 27 - 6 \cdot 9 + 4 \cdot 3) - (3 \cdot 8 - 6 \cdot 4 + 4 \cdot 2) = (81 - 54 + 12) - (24 - 24 + 8) = 39 - 8 = 31\)

Ответ: 31

Всё получилось! Если будут еще вопросы — обращайся!