Домашнее задание № 1. Смежные и вертикальные углы. Базовый уровень. Задача 1. Найдите смежные углы, если: а) один из них на 40° больше другого; б) один из них в 3 раза меньше другого. Задача 2. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 64°. Найдите остальные три угла. Задача 3. Сумма двух вертикальных углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 120°. Найдите все четыре угла. Задача 4. Разность двух смежных углов равна 30°. Найдите эти углы. Повышенный уровень. Задача 5*. При пересечении двух прямых образовались четыре угла, сумма трёх из них равна 250°. Найдите все четыре угла. Задача 6*. Найдите угол между биссектрисами двух смежных углов, если один из этих углов равен 50°.

Базовый уровень

1. а) Смежные углы в сумме дают 180°. Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(x+40°\).

   \(x+(x+40°)=180°\), откуда \(2x=140°\), \(x=70°\). Второй угол: \(70°+40°=110°\).

   б) Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший в 3 раза больше: \(3x\).

   \(x+3x=180°\), откуда \(4x=180°\), \(x=45°\). Второй угол: \(3\cdot45°=135°\).

   Ответ: а) 70° и 110°; б) 45° и 135°.

2. Ответ: 64°, 116° и 116°.

3. Вертикальные углы равны. Если их сумма равна 120°, каждый из них равен \(120°:2=60°\). Каждый из двух остальных смежен с углом 60°, значит, равен \(180°-60°=120°\).

   Ответ: 60°, 120°, 60° и 120°.

4. Пусть больший угол равен \(x\), а меньший — \(y\). Тогда \(x+y=180°\) и \(x-y=30°\). Складываем равенства: \(2x=210°\), поэтому \(x=105°\). Тогда \(y=180°-105°=75°\).

   Ответ: 75° и 105°.

Повышенный уровень

5. Сумма всех четырёх углов при пересечении двух прямых равна 360°. Значит, угол, не вошедший в сумму трёх углов, равен \(360°-250°=110°\). Вертикальный ему угол тоже равен 110°, а два смежных с ними угла равны \(180°-110°=70°\).

   Ответ: 110°, 70°, 110° и 70°.

6. Смежный с углом 50° угол равен \(180°-50°=130°\). Биссектрисы делят эти углы пополам: \(50°:2=25°\) и \(130°:2=65°\). Угол между биссектрисами равен \(25°+65°=90°\).

   Ответ: 90°.